FTYaR_lektsii

k	ýô

	11
0	, то Т>0. Это означает, что поток нейтронов в надкритическом реакторе

возрастает с течением времени по экспоненте. Наоборот, в ЯР, находящемся в подкритическом состоянии, коэффициент избыточной мультипликации и пери-

од являются отрицательными и поток нейтронов экспоненциально убывает.

На основании выше сказанного оценим влияние запаздывающих нейтронов на кинетику ЯР на конкретных примерах.

1.Пусть в ЯР нет запаздывающих нейтронов. При этом будем считать, что в результате какой-либо причины эффективный коэффициент размножения получил отклонение от своего критического значения на небольшую вели-

чину kýô 0,005 . Известно, что время жизни мгновенных нейтронов со-

ставляет lмг 10-3 с. Тогда

T	l
	k
		ýô

10	3
0,005

0,2 c

, а

изменение потока

(мощности) в ЯР за 1 с составит:

				t
Ô 1ñ			exp
Ô
	0		T

	exp		1		e	5
			0,2

148

. Та-

ким образом, в предположении отсутствия запаздывающих нейтронов полу-

чаем, что в течении каждых двух десятых секунды нейтронный поток будет увеличиваться в е раз, и за 1 с поток увеличится почти в 150 раз. Если бы по-

ток и, следовательно, мощность ЯР возрастали при незначительном увеличе-

нии эффективного коэффициента размножения так быстро, то управление та-

ким реактором было бы невозможным. Но этот вывод является ошибочным,

т.к. не учитываются запаздывающие нейтроны.

2.Мы показали, что запаздывание нейтронов даже на несколько секунд приво-

дит к увеличению времени жизни нейтронного поколения по сравнению со случаем, когда запаздывающие нейтроны не учитывались (lмг 10-3 с). Следо-

вательно, период реактора при учете запаздывающих нейтронов будет увели-

чиваться. В этом случае, как уже отмечалось, время жизни нейтронного поко-

ления практически полностью определяется временем запаздывания. Так для

m

случая деления урана-235 было установлено, что l ili 0, 0922c 10-1 c . То-

i 1

гда, используя условия примера 1 kýô 0,005 , но учитывая наличие запаз-

12

дывающих нейтронов, получаем, что период реактора будет равен

Т=0,1/0,005=20 (с) и Ф(1с)/Ф0=exp(1/20)=е0,05 1,05, что является абсолютно приемлемым с точки зрения управления ЯР. В заключении приведем сред-

ние времена жизни нейтронов в ЯР при делении различных изотопов: U235 –

0,0922 с; Pu239 – 0,055с; U233 – 0,04 с.

1.6. Нестационарное уравнение диффузии с учетом

запаздывающих нейтронов

Ранее мы анализировали кинетику ЯР на основании элементарного уравне-

ния кинетики. Однако в действительности временная зависимость потока нейтронов гораздо сложнее, т.к. необходим корректный учет запаздывающих нейтронов. Запишем нестационарное уравнение диффузии:

D Ф r,t	Ф r,t Q r,t	1
a		V

Ф r,tt

.

Разделим переменные: Ф(r,t)= Ф(r)·Ф(t),

писанное уравнение диффузии:

DФ t Ф r	Ф r Ф t
a

Q(r,t)= Q(r)·Q(t) и подставим это в за-

	Q r,t	Ф r dФ t		(1)
		V	dt

Как отмечалось ранее, в рамках модели «точечного реактора», согласно ко-

торой в любой момент времени форма пространственного распределения нейтронного потока остается постоянной и близко к критическому состоянию реактора. В этом случае для пространственного распределения будет справед-

ливо уравнение реактора:		2				2
	Ф r B Ф r 0 , отсюда					Ф r B Ф r . Подста-
вим это соотношение в (1), разделив обе его части на Ф(r):
DB	Ф t	Ф t	Q r	Q t	1 dФ t
2			Ф r
	a				V	dt
Функция источника Q(r) зависит от функции Ф(r), причем эта зависимость
является прямой пропорциональностью.				Таким		образом, отношение

		Q r		K const. Обозначив КQ(t) как S(t), разделив обе части уравнения на
	Ф r										a
	и учитывая, что D				a	L2 и 1 V	a	l	0	, получаем:

2 2	Ф t Ф t	1		S t l		dФ t
L B					0	dt
			a

(2)

13

Рассмотрим функцию источника S(t). В случае учета запаздывающих нейтронов функция источника может быть представлена как суперпозиция ис-

точника тепловых нейтронов, возникающих при замедлении мгновенных и запаздывающих нейтронов: S(t)= Sмг(t)+Sзап(t).

Пусть имеется m групп запаздывающих нейтронов. Если их доля равна ,

то 1– - доля мгновенных нейтронов. Тогда функция источника от мгновен-

ных нейтронов будет иметь вид:

Sмг t 1 k aФ t exp B2 ,

где aФ t - скорость реакции поглощения; k aФ t - количество образовав-

шихся нейтронов; exp B2 - вероятность избежать утечки в процессе замед-

ления. Источник от запаздывающих нейтронов определяется тем, что скорость генерации запаздывающих нейтронов определяется скоростью радиоактивного

m распада ядер-предшественников Ci t i , где Ci t - изменение концентрации

i 1 ядер-предшественников запаздывающих нейтронов i-ой группы, i - постоянная распада ядер-предшественников запаздывающих нейтронов i-ой группы:

где

S		t exp B		m	C	t
		2
	зап				i	i
			i 1

- вероятность избежать резонансного захвата.

,

2 2

1

B 2

B 2

m

dФ t

L B Ф t Ф t

1 k

Ф t e

e

C

t

l

0

a

i

i

dt

a

i 1

L2 B2Ф t Ф t 1

k e B 2 1

e

B 2

m

t i

dФ t

Ci

l0

(3)

a

dt

i 1

Для окончательной постановки задачи необходимо уравнение (3) допол-

нить m уравнениями баланса изменения количества ядер-предшественников каждой группы запаздывающих нейтронов. Такие уравнения баланса опреде-

ляются, исходя из того, что скорость образования этих ядер равна k Ф t ,

i a

а скорость их убыли - Ci t i	14
	. Таким образом, для решения поставленной задачи

необходимо совместно рассмотреть уравнение (3) и m уравнений типа (4):

dC	t	Ci	t i		k		i	aФ t	(4)
i
dt

Частные решения системы уравнений (3)-(4) будем искать в виде:

Ф t Ф0	exp t	(5)
Ci t Ci 0	exp t	(6)

где Ф0 и Ci0 – поток нейтронов и концентрация ядер-предшественников в мо-

мент времени t=0.

Подставим (5) и (6) в (4):

Ci 0 Сокращая на exp

exp t C				exp t
		i i 0
t , определим Ci0:
C			k		Ф
					i	a		0
	i 0
							i

	k
		Ф exp t
		i	a	0

(7)

Подставим выражения (5) – (7) в уравнение (3):

1 k

2

1

e

2

m

k

Ф

L B

Ф e

Ф e

e

B

e

2 2

t

t

B

i

i

a 0

t

0

0

a

i 1

i

L B

1 1 k e

2

k e

2

m

l0

2

B

B

i

i

2

i 1

i

l Ф e
	t
0	0

(8)

Разделим (8) на L2 B2

1 и,учитывая, что kэф

2

k

e

B

и

L B

2

1

2

m

i i

1 kэф 1 kэф

l

i

i 1

l

	l
L B
2

(9)

0 2

1

, получаем:

				m
В (9) откроем скобки, учтем, что i					и kэф–1= k , и получим
				i 1
m					m
k kýô		i i		i l k l kýô				i		(10)
i 1		i			i 1			i

		kэф		1	m	i
	Разделим обе части (10) на kэф:				l		(11)
		kэф		kэф		i
					i 1

																									15
	Вспомним		понятие							реактивность:								kэф			kэф		,		отсюда
	kэф kэф (kэф			1) 1 (1 ) .								Подставив						это			в		(11),		имеем
		m
					i
	(1 )l							. Окончательно решая полученное уравнение отно-
		i 1
					i
	сительно , окончательно получаем уравнение следующего вида:
							l				1	m
																i
																		(12)
										l 1
					l 1							i 1
																i
	В итоге получено характеристическое уравнение относительно																							. Решение
	этого уравнения дает те значения										, при которых существуют решения неста-
	ционарного уравнения диффузии с учетом запаздывающих нейтронов (3), име-
	ющие вид (5): Ф t Ф0				exp t . Проанализируем (12).
	При значения				1										При				1	l	значения
	При i	значения													При значения									1
	При 0 значения 0
	1
	l
				5					4			3					2			1
																									1
																								0	0
							4				3				2
		5																1
																							0
																								0
							4				3				2							0
		5																1
																								1
																						0
	Рис. 1 Общий ход зависимости от .

					16
Таким образом, функция	( )	имеет m+1 разрывов: при	1	l	и при m

значениях i . Для примера графически проиллюстрируем решение уравне-

ния (12) в случае пяти групп запаздывающих нейтронов.

Анализ позволяет сделать ряд выводов. Во-первых для расчетов кинетики ЯР требуется не весь график, а только его часть, соответствующая области, за-

ключенной между 1 и 1 (на графике эта область выделена соответ-

ствующими горизонтальными пунктирными линиями). Во-вторых, при любом положительном значении существует m+1 корней уравнения (12), из которых m корней – отрицательны, один – положительный ( 0 ). При этом каждый из отрицательных корней есть величина того же порядка, что и соответствующая постоянная распада предшественника запаздывающих нейтронов i-ой группы.

Таким образом, можно утверждать, что поток нейтронов во времени изме-

няется по закону:

m
Ф(t) Aj	exp( j t)
j 0

(13),

т.к. уравнение (12) имеет несколько корней.

Проведем анализ (13). Пусть 0 Тогда из решения уравнения (12) следу-

ет, что во всех слагаемых суммы (13), кроме первого, содержатся экспоненты с отрицательными показателями, т.е. с увеличением t эти слагаемые будут уменьшаться. Вклад каждого из них в сумму (13) существенен в течение про-

межутка времени, равного примерно соответствующему времени жизни ядра-

предшественника запаздывающих нейтронов. Показатель экспоненты первого

слагаемого суммы (13) положителен

0t 0

. Это значит, что по прошествии

времени после скачка реактивности порядка времени жизни наиболее долгожи-

вущих ядер-предшественников, величина потока будет определяться практиче-

ски лишь этим слагаемым:

Ф(t) A0 exp( 0t)

(14).

Используя данные таблицы о запаздывающих нейтронах, можно сказать,

что время установления распределения (14) составляет десятки секунд. Следо-

вательно, режимы разгона реактора, для которых потоки нейтронов описыва-

17

ются выражением (14) называются установившимися режимами, режимы раз-

гона, где потоки описываются законом (13) – переходными режимами.

Сравнивая выражение (14) и элементарное уравнение кинетики видно, что

период реактора равен

T

1 0

. Таким образом, период реактора можно трак-

товать как период реактора после исчезновения слагаемых, содержащих экспо-

ненты с отрицательными показателями в выражении (13). Эту величину приня-

то называть установившимся периодом реактора, а величины

1
	j

- переход-

ными периодами. Рассмотрим установившийся режим разгона реактора. В этом случае соотношение (12) имеет вид:

l

1

m

0

0

i

.

l 1

l 1

0

0

i 1

0

i

После замены 0

на 1/T получаем:

l

1

m

i

l

T

m

i

(15)

1

1

1

i 1

1

l T

l T

i 1

1 iT

1

l

i

T l

T

T

T

T

Проанализирует (15) в двух предельных случаях.

1. Пусть

мало ( 0 ). Тогда T велик и T l

i

1

i

, отсюда

T 1

i

В этом случае выражение (15) примет вид:

l

T

1

m

l

1

m

1

m

i

i

l

i

l T

l T T

i 1

l T

l T

i 1

l T

i 1

i

i

i

Выразим отсюда T, учитывая то, что время жизни мгновенных нейтронов

.

l

m

:

много меньше времени запаздывания l

i

i 1

i

1

m

i

1

m

i

T

l

(16),

i

i 1

i 1

i

т.к. l - малая величина.

Таким образом, при

период реактора не зависит от поведения

мгновенных нейтронов, и скорость изменения потока нейтронов во времени

18

определяется только свойствами запаздывающих нейтронов. Используя данные таблицы о свойствах запаздывающих нейтронов, можно оценить условие при-

менимости	(16): 0,005	(для справки – суммарная			доля запаздывающих
нейтронов при делении 235U составляет 0,0064).
2. Пусть	велико (	1). Тогда T мал и T li		1		, отсюда iT 1	. В
						i

этом случае выражение (15) примет вид:

		l		T	m		l		T
					i
		l T		l T			l T		l T
					i 1

		1
		l T

l

T

,

m

где i .

i 1

Выразим отсюда T:

T l		1	1			l	.

(17)

Таким образом, при больших положительных скачках реактивности запаз-

дывающие нейтроны практически не участвуют в установившемся режиме раз-

0,020

гона реактора. Всю ки-

.ед

0,016

l=10-3 c

нетику ЯР в этом случае

определяет

поведение

отн

мгновенных

нейтронов.

Реактивность,

0,012

l=10-4 c

На рис. 2 приведена за-

0,008

висимость

от 0

при

l=10

-5

c

различных

временах

0,004

жизни нейтронного по-

0,004

коления для случая де-

ления 235U. Видно, что

0

4

8

12

16

20

24

0

1

, с-1

при

малых

значениях

T

реактивности

кривые

Рис. 2. Зависимость от 0

при различных временах

почти

сливаются.

Это

жизни нейтронного поколения.

означает, что при задан-

ной реактивности в этой

19

области установившийся период реактора фактически не зависит от времени жизни нейтронов. В случае большой реактивности при уменьшении времени жизни нейтронов величина 0 растет, а период падает.

Проанализируем выражение (13) для случая скачкообразного введения от-

рицательной реактивности 0 . В этом случае во всех экспонентах суммы

(13) отрицательные показатели, т.е. поток нейтронов однозначно убывает во времени. Как и в случае положительной реактивности первое слагаемое, со-

держащее 0 , по прошествии определенного промежутка времени будет в ос-

новном определять поведение потока нейтронов, т.к. именно это слагаемое убывает медленнее всех. Однако роль его уже не так велика, как в случае поло-

жительной реактивности. Выражения (15)-(17) по-прежнему справедливы, но чем меньше , тем слабее установившийся период зависит от введенной отри-

цательной реактивности. При <<0 указанная зависимость практически отсут-

ствует, и достигается предельное значение установившегося периода, равное времени жизни наиболее долгоживущих ядер-предшественников. Таким обра-

зом, при сколь угодно больших по абсолютному значению отрицательных скачках реактивности установившийся поток нейтронов не может уменьшаться быстрее, чем с периодом, равным примерно 80 с (это время жизни самых дол-

гоживущих ядер-предшественников при делении 235U).

1.7. Единицы измерения реактивности

До настоящего времени мы измеряли реактивность в относительных еди-

ницах. Отсюда легко установить, что возможно также процентное измерение реактивности.

Вместе с тем существуют некоторые другие способы измерения реактив-

ности. Одним из них является измерение в обратных часах. Для определения возможности измерения этим методом воспользуемся выражением (11 §1.6.)

		1	m	i
			l
		kэф		i
			i 1

Для установившегося периода это выражение примет вид:

20

	l			m
			0				0	i
	k	эф		i 1		0
								i

Проводя замену в этом соотношении 0 1T получаем связь реактивно-

сти и установившегося периода реактора:

	l		m
					i
k	эф	T	i 1	1 T
					i

(1)

Отсюда вытекает возможность измерения реактивности в обратных часах.

По определению реактивность, равная 1 обратному часу, это реактивность ре-

актора, имеющего установившийся период, равный 1 часу (3600 с). Следова-

тельно, для получения реактивности, равной одному обратному часу, необхо-

димо подставить в формулу (1) T=3600 c (при подстановке i в с-1):

	l
	3600k
		ýô

m
		i

i 1	1	3600
		i

. (2)

Таким образом, для расчета реактивности в обратных часах необходимо выражение (1) поделить на соотношение(2):

		l		m
						i
	k	ýô	T	i 1	1 T
							i
	l			m
							i
	3600k		ýô	i 1	1 3600
							i

(3)

Выражение (3) носит название формула обратных часов. С помощью фор-

мулы обратных часов несложно найти связь между реактивностью, выраженной в обратных часах, и реактивностью, выраженной в относительных единицах. Так, для случая деления 235U 1 обратный час = 2,54·10-5.

Другим способом измерения реактивности является ее измерение в долла-

рах и центах. Возможностью такого измерения реактивности является тот факт,

что при анализе нестационарного уравнения диффузии с учетом запаздываю-

щих нейтронов мы сравнивали величину реактивности с величиной доли запаз-

дывающих нейтронов. Как будет показано позднее, критическое состояние ре-

актора обеспечивается только мгновенными нейтронами при введенной реак-

тивности (мгновенно критический реактор). Таким образом, один доллар соответствует реактивности, равной по величине доле запаздывающих нейтро-