FTYaR_lektsii

l 2 ( l ) 0

21

нов. Так, для случая деления 235U 1 доллар равен 0,0064 относительных единиц.

Соответственно 1 цент равен одной сотой доллара.

На отечественных реакторах реактивность часто измеряется в линейных сантиметрах перемещения регулирующих стержней. При этом считается, что для практического использования это наиболее подходящая единица измерения реактивности. Необходимо заметить, что для каждого реактора эта величина различна. Например, для первой АЭС (г. Обнинск) перемещение регулятора на

10 см эквивалентно изменению реактивности на 4,5·10-4. Зная режимы переме-

щения стержней, можно определять реактивность того или иного реактора.

1.8. Одна группа запаздывающих нейтронов

До сих пор мы рассматривали кинетику реактора при установившемся ре-

жиме. Вместе с тем важно знать закономерности изменения потока нейтронов переходном режиме разгона реактора. Такой анализ проводится с учетом одной

группы запаздывающих нейтронов.
Пусть имеется одна группа запаздывающих нейтронов: их доля равна					,
постоянная распада ядер-предшественников -				. Для анализа воспользуемся
известным уравнением (11 §1.6.)
	1	m	i
		l		(1)
	kэф		i
		i 1

Полагая, что реактор до возмущения находится в состоянии, близком к критическому, и, используя одногрупповой подход, выражение (1) примет вид:

l

. (2)

Видно, что уравнение (2) представляет собой квадратное уравнение отно-

сительно параметра :

(3)

Решения этого квадратного уравнения достаточно несложно записать:

	( l )
				1	4l				(4)
		1
						2
	2l				( l )

Таким образом, уравнение (3) имеет два решения ток нейтронов изменяется во времени по закону:

	0

и

	22
1	. Это означает, что по-

Ф(t) A0 exp( 0t) A1 exp( 1t) ,

аналогично, концентрация ядер-предшественников будет изменяться во времени следующим образом:

(5)

запаздывающих нейтронов

C(t) B0 exp( 0t) B1 exp( 1t) , (6)

где А0, А1, В0, В1 – константы, определяемые из начальных условий: Ф(t=0)=Ф0,

С(t=0)=С0.

1.8.1. Анализ переходного процесса при положительном скачке реактивности.

Рассмотрим два случая
1. Пусть	мало по сравнению с		( ). Тогда ( l )2 4l .
Раскладывая	квадратный корень	в	выражении (4) в ряд Маклорена

(

n	f	( k )	(0)
f (x)				x	k
		k!
k 0

при

x	4l
	( l )
	2

) и ограничиваясь первым значащим

слагаемым, выражение (4) примет вид:

	( l )						2l
					1					(7)
		1						2
	2l						( l )

Таким образом, в рассматриваемом случае решениями уравнения (7) явля-

ются:

			( l )		1		2l
	0			1				2
			2l				( l )				l

(8)

1		( l )		1	2l			, вследствие малости третьего слагаемого
			1
		2l			( l )	2

в квадратных скобках им пренебрежем, тогда окончательно имеем:

	( l )	1 1 l	(9)
1	2l	l

Для однозначного определения потока нейтронов согласно выражению (5)

[Ф(t) A0 exp( 0t) A1 exp( 1t) ] необходимо определить коэффициенты А0 и А1.

Запишем уравнение баланса для концентрации ядер-предшественников

(оно нам известно):

dC t	C t	k		Ф t
dt
				a

(10)

23

С другой стороны согласно выражению (6) -

C(t) B	exp( t) B exp( t)
0	0	1	1

				dC t				B				exp(		t) B exp( t)												(11)
											0
					dt				0				0		1	1					1
Сравнивая (10) и (11) и учитывая (5) и (6) получаем:
B e			t		B e				t	B e				t	B e		t			k					A e		t		A e	t
			0						1					0			1											0		1
0 0							1	1					0		1									a	0				1
Разделяем слагаемые, содержащие константы типа А и типа В.
B e	t		(				) B e					t	( ) A				k		e				t	A		k			e	t
		0										1											0							1
0						0				1			1		0						a				1				a

Равенство сумм предполагает равенство соответствующих слагаемых:

				B e	t	(				) A			k		e			t	B A				k					a
					0													0
				0					0			0					a			0	0	(
																									0
				B e				t	( ) A						k		e		t	B	A			k
								1											1
					1						1		1					a		1		1	(
																											1
	Подставим в выражения (12) и (13) значения 0																							и 1
отношениями (8) и (9):
B0	A0			k a							. Оценив порядок величин ( l													10			3	c,
				l

жем произведением l . Тогда

	)	(12)
	a	(13)
	)

в соответствии с со-

	10	2	c	1	), пренебре-

A

k

( )

A

k

( )

A

k

( )

B

a

a

a

( )

0

0

0

0

B A

k

A

k

l

A

k

l

a

a

a

1

1

l

1

( 2l )

1

l

(14)

(15)

В(15) аналогично (14) пренебрегли произведением l вследствие его малости.

Всоответствие с (5) и (6) запишем начальные условия: Ф(0)=А0+А1=Ф0 и

С(0)=В0+В1=С0. С другой стороны в соответствие с (10) для момента времени t=0 получим:

dC

0

dC

0

C

k

Ф

C

k

Ф

0

a

dt

dt

0

a

0

0

0

24

(16)

Рассматривая совместно начальные условия и выражения (14)-(16), прове-

дем преобразования:

C B B

k

a

Ф A

k

a

( )

A

k

a

l

0

0

1

0

0

1

Ф0

A0

A1

l

(17)

Выразим из начальных условий А1=Ф0–А0 и подставим в (17):

Ф A

(Ф A )

l

. В дроби

l

порядок числителя составляет

0 0

0 0

10-6, а порядок знаменателя 10-3. Таким образом, вся дробь стремиться к 0. То-

гда:

	Ф	A		A		Ф
	0	0		0		0

(18)

Выразим из начальных условий А0=Ф0–А1 и подставим в (17):

Ф (Ф A )

0 0 1

A	l
1

. Также, как и в случае А0, вследствие малости

дроби во втором слагаемом получаем:

Ф Ф

A

A ( ) Ф ( ) Ф A Ф

(19)

0

0

1

1

0

0

1

0 ( )

Таким

образом,

закон

изменения нейтронного

потока

во

времени

Ф(t) A0

exp( 0t) A1 exp( 1t) примет вид:

Ф(t) Ф0

exp

t

exp

t

(20)

( )

l

Нейтронный поток представляется разностью двух слагаемых, из которых один с течением времени растет, в другой – падает. Рассмотрим конкретный пример. Предположим, что l = 10-3 c, =0,0064, =0,077 с-1 (случай деления

235U), введенная реактивность составляет =0,003. Тогда соотношение (20)

можно представить в следующем виде:
Ф(t)/Ф(0) = 1,88 exp(0.07t) – 0,88 exp(-3,4t)	(21)

25

На рисунке приведен график изменения во времени как всего соотношения

(21), так и отдельных его слагаемых. Несложно убедиться, что в первый момент

Ф(t)/Ф(0)

времени после скачка ре-

активности (около 0,2 с)

2,0

I слагаемое

изменение

потока

нейтронов почти

полно-

1,5

стью

определяется

вто-

рым (переходным) слага-

Ф(t)/Ф(0)

емым.

Можно

оценить

1,0

период реактора

в

этом

случае. Для этого нужно

0,5

II слагаемое

известное

выражение

Ф(t)=Ф0exp(t/T) и соот-

0

ношение (20)

продиффе-

0,5

1,0

1,5

t, с

Рис. 1. Изменение нейтронного потока во времени при по-

ренцировать по времени и

ложительной реактивности.

рассмотреть

времена,

близкие к нулю (t=0). Тогда получим:

1								1
	Ф0	Ф0					или								(22)
T			( )	2				T			( )	2		l
						l

При малых значениях реактивности ( ) первое слагаемое в выражении

(22) много меньше, чем второе. Следовательно,

T

l

. Это означает, что при

малых значениях положительной реактивности запаздывающие нейтроны прак-

тически не участвуют в изменении потока нейтронов в начальный момент вре-

мени после скачка реактивности. По истечении времени, равного примерно 1 с

второе (переходное) слагаемое в выражениях (20) и (21) затухает, и поток нейтронов изменяется по закону:

	Ф(t) Ф0
			exp		t
		( )		( )

отсюда период реактора равен

T

		( )



26

, что соответствует установив-

шемуся режиму разгона реактора при малых положительных значениях скачка реактивности. Таким образом, поведение реактора в этом случае определяется поведением запаздывающих нейтронов. Если вернуться к рассмотренному примеру, то установившийся период составит величину около 15 с, когда как в отсутствии запаздывающих нейтронов он равен примерно 0,4 с. Отсюда можно констатировать, что наличие запаздывающих нейтронов уменьшает скорость увеличения потока нейтронов при скачке положительной реактивности.

Необходимо отметить одну важную особенность – резкий рост (практиче-

ски скачком) потока нейтронов в переходном режиме разгона реактора (первое

время после скачка реактивности) и относительно слабый – в установившемся.

2. Рассмотрим второй случай положительной реактивности. Пусть введен-

ная положительная реактивность велика по сравнению с								( ). Тогда
общее решение квадратного уравнения (3), которое имеет вид (4):
	( l )			1	4l
		1				2
	2l				( l )

может быть переписано следующим образом (с учетом малости величины

l

):

				1	4l		(23)
	2l	1
Раскладывая, как и в случае малых					, квадратный корень в выражении

(23) в ряд Маклорена и ограничиваясь первым значащим слагаемым, выраже-

ние (23) примет вид:

				1	2l
	1
	2l

(24)

Таким образом, в случае больших значений реактивности корнями уравне-

ния (3) являются:

0

1

2l

2

2l

1

(25)

2l

2l

l

l

2l

В (25) отношение

l

по порядку величины много больше, чем .

						27
		1	2l			(26)
	1
1
	2l

Сравнивая (25) и (26), видно, что

0 1

. Следовательно, нет необходи-

мости определять константы в законе изменения потока нейтронов во времени,

т.к. в любой сколь угодно малый момент времени поток практически полно-

стью определяется первым слагаемым:

Ô(t) A0 exp( 0t) (переходный режим

разгона практически отсутствует). Другими словами поток нейтронов будет из-

меняться с периодом T

1

l

, т.е. запаздывающие нейтроны практически

0

не принимают участия в изменении потока нейтронов.

Ф/Ф0

На рис. 2

проиллюстри-

0,005

0,004

рованы вышеуказанные вы-

5

воды. Видно, что при малых

изменение потока нейтро-

3

0,003

нов во времени имеет «изло-

0,001

мы»,

соответствующие нали-

чию

переходных

режимов,

1

0

при

больших

изменение

потока происходи

почти по

0

1

3

5

7

t, c

Рис.2. Изменение плотности потока нейтронов

прямой, что говорит о незна-

во времени при различных значениях положи-

чительных переходных режи-

тельной реактивности

мах разгона.

Дадим физическую интерпретацию полученных результатов. Анализируя выше изложенное, можно сказать, что суть переходных процессов, происходя-

щих сразу после положительного скачка реактивности, заключается в измене-

нии доли запаздывающих нейтронов в реакторе. Если реактор находился в кри-

тическом состоянии достаточно долго, то в нем доля запаздывающих нейтронов остается неизменной и равной доли запаздывающих нейтронов, образующихся при делении ядер. При введении малой положительной реактивности скорость реакции деления увеличивается, что приводит к увеличению количества ядер-

предшественников запаздывающих нейтронов, но вследствие того, что эти ядра

28

испускают запаздывающие нейтроны с некоторым опозданием, то в первые моменты времени количество запаздывающих нейтронов остается практически таким же, каким было до введения реактивности. В то же время количество мгновенных нейтронов увеличивается сразу же. Таким образом, оставаясь в том же количестве по абсолютному значению, доля запаздывающих нейтронов в общем количестве нейтронов уменьшается. Следовательно, при малых реак-

тивностях в первые моменты времени после скачка мгновенные нейтроны иг-

рают основную роль, наблюдается резкое увеличение потока нейтронов. В

дальнейшем из-за малости введенной реактивности (а значит из-за малого из-

менения потока) скорость образования мгновенных нейтронов увеличивается слабо, в то время скорость образования запаздывающих нейтронов начинает

«догонять» скорость образования мгновенных нейтронов, т.к. в процессы рас-

пада сильнее с течением времени включаются все более долгоживущие ядра-

предшественники запаздывающих нейтронов. Таким образом, по прошествии некоторого промежутка времени доля запаздывающих нейтронов в общем ко-

личестве нейтронов начинает возрастать. Тем самым, как нам известно, ско-

рость увеличения потока начинает падать, что дает возможность управлять этим процессом.

При больших введенных положительных реактивностях скорость образо-

вания мгновенных нейтронов больше скорости образования запаздывающих нейтронов практически в любой момент времени после скачка реактивности.

Следовательно, доля мгновенных нейтронов в общем количестве нейтронов все время растет, а доля запаздывающих нейтронов все время падает (говорят, что реактор «опережает» запаздывающие нейтроны). В этом случае наблюдается резкое почти по прямой увеличение потока, определяемое в основном мгновен-

ными нейтронами. Нам известно, что такая ситуация не позволяет эффективно управлять реактором.

В нашем анализе мы сравнивали величину введенной положительной реак-

тивности с величиной доли запаздывающих нейтронов. Можно предположить,

что является некой мерой возможности управления реактором. Для доказа-

тельства этого введем понятие мгновенно критического реактора. Мгновенная

29

критичность – это состояние реактора, при котором он становится критическим на одних мгновенных нейтронах. Получим условие мгновенной критичности.

Для этого воспользуемся известным уравнением диффузии с учетом запазды-

вающих нейтронов:

Ф t Ф t 1 k

2

1

e

2

m

dФ t

L B

e

B

C t l

2 2

B

i

i

0

dt

a

i 1

Т.к. мы договорились вести третье слагаемое, описывающее исключить. При этом в реакторе,

речь о реакторе на мгновенных нейтронах, то источник запаздывающих нейтронов, можно находящемся в критическом состоянии, поток

	не должен изменяться во времени, так что производная	dФ t	=0. Следователь-
		dt

но, записанное уравнение диффузии примет вид (раскрывая все скобки):

2 2							2
				Ф t	1	k e	B	Ф t			0
L B Ф t
Ф t (1 L B				) Ф t 1 k e				2	0		(27)
		2	2					B

Разделим обе части

получим условие:

1

2	2	) , вспомним, что
(27) на Ф t (1 L B

	kэф 1 0 kэф			1	(28)
			1

			2
k	e	B
					k
		2	2	)		эф
(1 L B

и

	Из определения реактивности	kэф		kэф 1		следует, что k			1		.
							эф
		kэф		kэф					1

Подставив это в (28) получим условие, при котором реактор будет мгновенно критическим:

(29)

Соответственно, при 0 реактор будет надкритическим на мгновен-

ных и запаздывающих нейтронах, а при - только на мгновенных. Напри-

мер, реактор на тепловых нейтронах, в котором делящимся материалом являет-

ся 235U, достигает мгновенной критичности при величине реактивности, равной

0,0064. Если введенная реактивности превысит эту величину, то нейтронный поток начнет нарастать с большой скоростью, определяемой мгновенными

30

нейтронами, и реактор вскоре выйдет из-под контроля. При скачке реактивно-

сти величиной, меньшей 0,0064, управление реактором становится возможным благодаря эффекту запаздывающих нейтронов, хотя период реактора будет уменьшаться по мере того, как приближается к , т.е. для нашего примера к величине 0,0064.

1.8.2. Анализ переходного процесса при отрицательном скачке реактивности.

При анализе переходных процессов при отрицательной реактивности необходимо отметить, что в этом случае по-прежнему меньше . Следова-

тельно, для этого случая будут справедливы те же соотношения и закономерно-

сти, что и для рассмотренного ранее случая 0 . Необходимо лишь сде-

лать поправки на знак вводимой реактивности. Таким образом, для анализа пе-

реходного процесса при отрицательной реактивности можно воспользоваться соотношением (20)

Ф(t) Ф

exp

t

exp

0

( )

которое для отрицательной реактивности примет вид:

l

t



,

Ф(t) Ф

exp

t

exp

t

0

l

(30)

Также как и в случае положительной реактивности рассмотрим конкрет-

ный пример. Предположим, что l = 10-3 c, =0,0064, =0,077 с-1 (случай деле-

ния 235U), введенная реактивность составляет уже = –0,003. Тогда соотноше-

ние (30) можно представить в следующем виде:

Ф(t)/Ф(0) = 0,68 exp(–0,025t) – 0,32 exp(-9,4t) (31)

Видно, что у обоих слагаемых в (31) коэффициенты положительны, а экспо-

ненты имеют отрицательные показатели. На рисунке приведен график измене-

ния во времени как всего соотношения (31), так и отдельных его слагаемых.

Причем первое слагаемое отвечает за установившийся режим, второе – за пере-

ходной. Однако второе слагаемое быстро затухает, после чего установившийся

период определяется соотношением: T , и для нашего примера состав-