52. Теорема сложения для несовместных событий. Теорема умножения для независимых событий. Условная вероятность. Полная вероятность. Формула Байеса.

Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А — попадание при первом выстреле, В — попадание при втором выстреле, то А + В — попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

В частности, если два события А и B — несовместные, то А + В — событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие А + В + С состоит в появлении одного из следующих событий: А, В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С.

Теорема умножения. Вероятность совмещения событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие осуществилось, т. е.

P(AB)=P(A)PA(B)

Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуютполную группу несовместных событий, то вероятность события Авычисляется по формуле

.

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Формула Байеса:

,

где

—априорная вероятность гипотезы A (смысл такой терминологии см. ниже);

—вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);

—вероятность наступления события B при истинности гипотезы A;

—полная вероятность наступления события B.

53. Доверительный интервал и доверительная вероятность. Стандартные интервалы: 1-σ, 2-σ, 3-σ интервалы. Такой интервал – доверительный. Стандартные интервалы (вместо < должно быть </=)⦁ М- σ <х< М+ σ (α = 68%)⦁ М- 2σ <х< М+ 2σ (α = 95%)⦁ М- 3σ <х< М+ 3σ (α = 99,7%)Доверительный интервал в математической статистике - это интервал, построенный с помощью случайной выборки из распределения с неизвестным параметром, такой что он содержит этот параметр с заданной вероятностью.

Доверительная вероятность α – некоторая заданная вероятность, с которой случ.величина попадает в определённый интервал.

54. Дискретные и непрерывные временные ряды, их характеристики. Уравнение тренда. Сглаживание временных рядов: метод скользящего среднего. Если две варианты признака в данной совокупности могут отличаться одна от другой не менее чем на определенное число или вообще совпадают, то такие данные называют дискретными (число учеников в классах школы; количество баллов, которые набирает ученик при тестировании, и т. п.). Если же две варианты признака могут отличаться одна от другой на произвольно малую величину, то такие данные называют непрерывными (процент учеников, которые имеют достаточный уровень подготовки по предмету в разных классах; время, за которое ученики пробежали 60 м на соревнованиях; продолжительность работы электронных ламп; температура воздуха и т. п.).

Результаты наблюдений объекта, параметры которого могут изменяться во времени, образуют упорядоченную^: последовательность - временной ряд X(t1),X(t2),..., X(tn)

Последовательность результатов наблюдений над некоторой величиной полученных последовательно во времени,наз.- временным рядом.Например:последовательность значений температуры тела больного в течение суток если ее регистрацию проводили каждый час.Величина случайного временного ряда в произвольный момент времени,может быть описана соответствующей функцией распределения и для такого ряда могут быть определеныосновные числовые характеристики,т.е. математическое ожидание,дисперсия и среднее квадратичное отклонение.В общем случае произвольного ряда эта функция распределения явл.функцией времени и такое ряд называют нестационарным.В то же время ряды,функция распределения значений которых не зависит от времени наз.- стационарным.Стационарные:их числовые характеристики не зависят от времени.

Сглаживание- дисперсия ряда уменьшается и он становится более плавным.Выбирают некоторый временной нтервал усреднения который как правило значительно меньше всего времени наблюдения за значениями врем. ряда,и с помощью этого интервала скользят вдоль ряда производя усреднение значений ряда,попадающих в этот скользящийинтервал.

55. Функции распределения вероятностей появления дискретной случайной величины. Распределения Бернулли и Пуассона, их характеристики, графики, примеры из практики медицины и биологии. . Функция распределения случайной величины - это вероятность того, что случайная величина (назовём её ξ) примет значение меньшее, чем конкретное числовое значение x:F(X)=P(ξ<X).Для дискретной случайной величины функция распределения вычисляется для каждого значения как сумма вероятностей, соответствующих всем предшествующим значениям случайной величины. Ниже будет приведён пример, разъясняющий смысл сказанного

 Формула Бернулли

Пусть проводятся независимые испытания (такие, при которых вероятность появления события в каждом испытании не зависит от результатов предыдущих испытаний). Далее, вероятность наступления интересующего нас события в каждом испытании постоянна и равна p. Тогда вероятность того, что рассматриваемое событие появится ровно k раз при n испытаниях (безразлично, в каком порядке), равна

Пример 1

Система, составленная из четырёх блоков, работает исправно, если за рассматриваемый период выйдет из строя не более двух блоков. Найти вероятность безотказной работы системы блоков, если отказы блоков являются независимыми событиями и вероятность отказа каждого блока равна 1/8.

РешениеВероятность того, что за рассматриваемый период ни один из блоков не выйдет из строя:

Вероятность того, что за рассматриваемый период выйдет из строя один блок:

Вероятность того, что за рассматриваемый период выйдет из строя два блока:

Вероятность безотказной работы системыформула Пуассона

Если при наличии схемы Бернулли число испытаний n велико, а вероятность наступления события p мала, то вместо формулы Бернулли используют формулу Пуассона: