Структура и способы доказательства

Доказательство и его структура

Доказательство— это логический прием по обоснованию истинности каких-либо суждений с помощью суждений, истинность которых установлена ранее.

В состав доказательства входят:

1. Тезис- суждение, истинность которого требуется доказать.

2. Аргументы, или основания - истинные суждения, из которых следует тезис.

3. Демонстрация, или форма доказательства- умозаключение, связывающее аргументы с тезисом.

В доказательстве тезис выводится из аргументов на основе законов логики и правил логического следования.

Доказательства делятся на прямые и косвенные.

В прямом доказательствеистинность тезиса непосредственно вытекает из аргументов.

К косвенным доказательствамприбегают в тех случаях, когда тезис прямо доказать нельзя.

Наиболее распространенным видом косвенных доказательств является доказательство от противного.

В доказательстве от противного обосновывается ложность антитезиса.

Антитезис– суждение, противоречащее тезису.

Если ложность антитезиса обоснована, то согласно закону исключенного третьего, тезис будет истинным суждением.

Правила доказательства и опровержения

Выделяют правила доказательства и опровержения по отношению к тезису, аргументам и демонстрации. Их несоблюдение приводит к логическим ошибкам.

Правила по отношению к тезису:

1. Тезис должен быть сформулирован ясно, точно и однозначно.

Соблюдение этого правила предостерегает от неопределенности и двусмысленности при доказательстве того или иного тезиса. Если тезис сформулирован неточно, спор может возникнуть лишь по той причине, что спорящие по-разному понимают выдвинутый тезис, вкладывая в него различный смысл.

2. Тезис должен оставаться одним и тем же на протяжении всего доказательства или опровержения.

Это правило является следствием закона тождества.

Нарушение данного правила ведет к ошибке «подмена тезиса» (лат. ignoratio elenchi). Сущность ее состоит в том, что, начав доказывать один тезис, в дальнейшем доказывают уже другой, отличный от него по содержанию, тезис.

Правила по отношению к аргументам:

1. Аргументы должны быть истинными суждениями.

Несоблюдение этого правила приводит к ошибке «ложное основание» (лат. error fundamentalis)

Эта ошибка возникает тогда, когда хотя бы одно из суждений, выступающих в качестве аргумента, является ложным.

2. Аргументы должны быть не противоречащими друг другу.

Это правило вытекает из предыдущего. Ведь если аргументы противоречат друг другу, значит согласно закону противоречия, хотя бы один из них ложен.

3. Аргументы должны быть доказанными суждениями.

В доказательстве и опровержении аргументы должны быть доказанными суждениями.

Недоказанность аргументов приводит к ошибке «предвосхищение основания» (лат. petitio principii).

4. Аргументы должны быть суждениями, истинность которых устанавливается независимо от тезиса.

При нарушении этого правила возникает ошибка «круг в доказательстве» (circulus in demonstranto).

5. Аргументы должны быть достаточным основанием для тезиса.

Это правило вытекает из закона достаточного основания.

При нарушении этого правила возникает ошибка «не следует» («мнимое следование») (лат. поп sequitur) - между аргументами и тезисом отсутствует логическая связь, вследствие чего аргументы не обосновывают истинности доказываемого тезиса.

Часто в таких рассуждениях вместо подлинной логической связи имеется просто грамматическая связь предложений.

Правила по отношению к демонстрации:

Правилами по отношению к демонстрации являются правила используемого умозаключения.

51. Виды опровержения.

Доказательства различаются прежде всего по их цели, по отношению доказывающего к выдвинутому тезису. Можно подтвердить истинность тезиса и доказать его ложность. Подтверждение тезиса часто называют доказательством, а опровержение синонима не имеет. Следовательно, существуют два рода доказательства: подтверждение и опровержение тезиса.

Целенаправленность доказательства является исходным основанием деления всех доказательств. Оно предопределяет все построение и характер дальнейшего рассуждения. Цель его определяется не произвольно, а в зависимости от содержания обосновываемого положения. Не соответствующий действительности тезис невозможно подтвердить, как нельзя опровергнуть истинный тезис.

Выбор способа доказательства тоже в значительной мере зависит от содержания тезиса, однако связь эта неоднозначна: любое положение можно аргументировать различным способом в зависимости от характера оснований или соображений доходчивости, ясности и убедительности.

По способу аргументации все доказательства делятся на два вида – прямые и косвенные. Прямое доказательство заключается в выведении из основания по определенным правилам умозаключения истинности или ложности данного тезиса. При косвенном доказательстве обосновывается ложность антитезиса и отсюда устанавливается истинность тезиса или, наоборот, его ложность.

Рассмотрим оба вида доказательства несколько подробнее.

В прямом доказательстве в цепочке умозаключений последним звеном будет являться доказываемый тезис. Например, доказательства того, что 2004 год будет годом високосным основано на последовательности таких рассуждений: 1) високосным годом называется год, числовое выражение которого делится на 4; 2) (2004/4=501), следовательно, 2004 год будет високосным. Нетрудно увидеть, что вывод был сделан на основании определения (что такое високосный год) и одного истинного утверждения (2004 делится на 4), принятых в качестве основания нашего доказательства.

Бывает, что прямое доказательство по какой-либо причине неосуществимо. В таких случаях прибегают к косвенным доказательствам, именуемым иногда «доказательством от противного» или «апагогическим», то есть «отводящими». Главной особенностью косвенного доказательства является то, что непосредственно доказывается не тезис, а его отрицание – антитезис, причем доказательство устанавливает ложность последнего. Затем на основе закона исключенного третьего необходимо заключают об истинности тезиса. Таким образом, доказываемое утверждение на протяжении почти всего доказательства остается как бы в стороне, как бы привлекаясь только на заключительной стадии.

Общая логическая форма косвенного доказательства выглядит следующим образом. Необходимо доказать утверждение А (тезис); допустим, что имеет место (т.е. истинно) не-А; из не-А получаем в качестве следствия некоторое утверждение В; устанавливается, что В противоречит истинности ранее доказанного утверждения, следовательно, является ложным; от ложности следствия В заключаем к ложности его основания, т.е. к ложности утверждения не-А; на основании закона неисключенного третьего из ложности не-А делаем вывод об истинности утверждения А, что и было целью доказательства.

Легко заметить, что переход от ложности следствия к ложности его основания был совершен в соответствии с отрицательным модусом условно – категорического силлогизма.

Если А, то В

Не-В

Следовательно, не-А

Из рассмотренного следует, что косвенное доказательство – это такой вид рассуждений, при котором доказывается ложность отрицания тезиса и на этом основании заключают об истинности тезиса. В качестве примера косвенного доказательства приведем геометрические теоремы: «Два перпендикуляра к одной и той же стороне не могут пересечься, сколько бы их не продолжали». Доказательство начнем с того, что сначала сформулируем утверждение, что из точки, лежащей вне прямой, можно опустить на эту прямую два перпендикуляра. Но это следствие ложно, т.к. ранее была доказана теорема, что «из точки, лежащей вне прямой, можно опустить на эту прямую только один перпендикуляр». Из ложности следствия, утверждающего о возможности опустить на эту прямую из точки, находящейся вне прямой, два перпендикуляра, мы делаем вывод о ложности его основания, т.е. принятого нами допущения, из которого одно, а именно допущение, является ложным утверждением. На основании закона исключенного третьего мы заключаем об истинности теоремы в ее вышеприведенной формулировке.

В данном примере следствия, вытекающее из антитезиса, пришло в противоречие с ранее доказанному утверждением. Но бывают и другие виды приведения к противоречию при косвенном доказательстве. Например, когда противоречие возникает между двумя следствиями антитезиса или когда из антитезиса выводится следствие, отрицающее антитезис, и др. Такого рода случаи получили наименование «приведение к абсурду»; иногда вообще косвенные доказательства именуют «доказательствами посредством приведения к абсурду (нелепости)» (reduction ad absurdum).

Особое место в научном исследовании  занимает  генетическое доказательство, или доказательство по источнику происхождения. Оно применяется главным образом в исторических науках, в которых в качестве основания привлекаются документы, свидетельства, мемуары и т.п. При этом устанавливается достоверность этих источников и истинность их содержания. Генетическое доказательство применяется в тех случаях, когда невозможно проверить какое-либо суждение (тезис) по-существу и приходится устанавливать его достоверность. В некоторых науках – историографии, метеорологии, геологии, географии – во многих случаях приходится пользоваться только этими источниками, истинность которых можно проверить лишь генетически.

По своей цели генетическое доказательство представляет либо только на основании известных документов, свидетельских показаний. В установление истинности тезиса (его подтверждения), либо обнаружение его ложности (опровержение).

Генетическое подтверждение несет следующее строение. В первой части доказательства устанавливается истинность первоначально возникшего суждения о каком-либо историческом факте (событии). Для этого обращаются к исследованию источника этих суждений, учитывается субъективный подход автора к данным событиям, его осведомленность, добросовестность и т.д. Во второй части доказательства путем тщательной проверки устанавливается, что известные суждения (взгляды) дошли к нам без всяких (по крайней мере существенных) изменений (искажений) при устной передачи, при переписке или при переводе на другой язык и проч. В третьей части доказательства в результате предшествующих исследований выводится заключение об истинности тезиса. Если доказываемый тезис – документ или свидетельство – не выдерживает всех этих проверок, не удовлетворяет указанным условиям, то он подвергается генетическому опровержению.

Опровержение в генетических доказательствах – это установление логичности тезиса – документа или свидетельства, которые подвергаются проверке. Ложность каких-либо суждений, дошедших к нам из прошлых (иногда очень отдаленных) времен, может заключаться или в неверном (искаженном) отображении действительного события, или в изменениях (извращениях) и неточности при устной или письменной передаче этого суждения. В первом случае необходимо установить личность первого высказанного суждения. Во втором случае не только выявляются искажения первоначально истинного суждения, но и ставится задача восстановления первоначального текста, очищение его от последующих извращений.

Элементы генетического доказательства в той или иной мере применяются следственно-розыскной практике, когда следователь поставлен перед необходимостью составить максимально достоверную картинку события по показаниям свидетелей и участников данного события.  И показания свидетелей, и тем более участников события могут искажать реальную картину. Ее восстановление потребует от следователя не только знаний логики, но и психологии людей, вовлеченных в данные события.

Опровержение:

Помимо доказательства утверждений путем установления их истинности важное место в научной практике имеют и опровержения утверждений.

Опровергнуть то или иное утверждение означает ни что иное, как обосновать его ложность. Таким образом, во многих случаях опровержение имеет такую же логическую структуру, как и доказательства, о чем свидетельствуют косвенные доказательства, в которых для обоснования истинного тезиса опровергается антитезис. Однако, в косвенных доказательствах, опровержение играет подчиненную роль, выступает как момент, в то время как во многих других случаях оно имеет самостоятельное значение.

Как и доказательства, опровержение имеет тезис, аргументы и форму (демонстрацию). Тезис опровержения – это положение, которое требуется опровергнуть. Аргументы – это утверждения, с помощью которых опровергается тезис (доказывается его логичность). Форма опровержения – это способ логической связи аргументов и тезиса опровержения.

Опровержение тезиса может быть осуществлено двояко. Во-первых тем, что докажут истинность антитезиса; во-вторых, тем, что установят логичность следствий, вытекающих из тезиса.

Опровержение первого рода состоит в следующей последовательности рассуждений. Сначала находят некоторое утверждение, противоречащее тезису, - антитезис, затем доказывают его истинность. Если это удается, на основании закона противоречия при составлении тезиса и антитезиса делаем вывод о возможности первого. Например, утверждение «Все млекопитающие живут на суше» (общеутвердительное) опровергается доказательством истинности частноотрицательного утверждения «Некоторые млекопитающие не живут на суше»:

Кит – не живет на суше.

Кит – млекопитающее.

Следовательно, некоторые млекопитающие не живут на суше.

Опровержение второго рода протекает следующим образом. Допуская истинность тезиса, выводят из него ряд следствий. Если хотя бы одно из полученных следствий находится в противоречии с действительным положением вещей или с уже доказанными утверждениями, то с необходимостью делают вывод о логичности тезиса. В данном случае заключают от логичности следствия к логичности основания.

Некоторые утверждения могут быть опровергнуты посредством опровержения оснований, на которых покоится их истинность или опровержения формы их доказательства – демонстрации. Это виды так называемых косвенных утверждений. Но по своему значению они менее Эффективны, чем прямое опровержение тезиса. Действительно, доказывать логичность оснований не означает, что этим доказана логичность следствия из них. Например, в умозаключении:

Все планеты имеют спутников.

Марс – планета.

Следовательно, Марс имеет спутников.

Здесь тезис («Марс – планета») является истинным утверждением, но доказательство неверно, т.к. большая посылка («Все планеты имеют спутников») – утверждение ложное. Его можно опровергнуть замечанием, что Венера не имеет спутников.

Опровержение демонстрации доказательства тезиса заключается в том, что показывают отсутствие логической связи между тезисом и его аргументом. Поскольку это может быть, прежде всего, результатом нарушения правил умозаключений, по которым строится доказательство данного тезиса, то для опровержения необходимо указать на общий  вид ошибки. Тем самым доказывается, что доказательство было построено неправильно. Тем не менее, это не означает, что мы опровергли сам тезис, который может быть как истинным, так и ложным. Имеется немало примеров того, когда истинное утверждение считалось строго доказанным, хотя со временем в доказательстве находили ошибки.

Опровержения являются важным орудием развития научного познания. С их помощью наука освобождается от ложных утверждений, заблуждений и догм, а также совершенствует свой теоретический аппарат.

52. Правила по отношению к тезису: возможные ошибки и уловки.

Прямое и косвенное опровержение тезиса.

Опровержение тезиса может быть прямым («сведение к абсурду») и косвенным.

Прямое опровержение тезиса осуществляется в следующем виде. Вначале делают апагогический шаг, т.е. условно допускают истинность выдвинутого положения и выводят логически вытекающие из него следствия. Если при сопоставлении следствий с фактами оказывается, что они противоречат объективным данным, то тем самым их признают несостоятельными. Направление рассуждения здесь - от ложности следствия к ложности основания.

1. Т→ С.

2. С ۷ F, F

┐C

3. Т → С, ┐С

┐Т

В итоге «сведение к абсурду» означает следующее: поскольку выведенное и Т следствие С находится в противоречии с фактом F, тем самым оно признается ложным - ┐С. Ложность следствия всегда свидетельствует о ложности основания - ┐Т.

Косвенное опровержение тезиса заключается в обосновании другого тезиса А, на основании чего делается переход к ложности тезиса Т. Существует два вида косвенного опровержения тезиса - апагогическое и разделительное.

Опровержение может осуществляться тремя способами:

1. Опровержение тезиса.

2. Опровержение аргументов.

3. Опровержение демонстрации.

Опровержение тезисазаключается в установлении несостоятельности тезиса, оно рассматривалось выше.

Опровержение аргументов заключается в установлении ложности аргументов. Тезис считается необоснованным и нуждается в новом самостоятельном подтверждении (например: опровержение фактов, на которые опирается тезис, сомнение в авторитетности эксперта и т.д.).

Опровержение демонстрации заключается в показе того, что в рассуждениях нет логической связи между тезисом и аргументами. Если тезис не вытекает из аргументов, то он считается необоснованным. (Например: все птицы летают, потому что некоторые птицы летают).

Как критика аргументов, так и критика демонстрации сами по себе лишь показывают необоснованность тезиса. В этом случае можно сказать, что тезис не опирается на доводы либо опирается на недоброкачественные доводы и требует нового обоснования.

Соблюдение правил и избежание ошибок в доказательствах важно при ведении спора.

Спор – это столкновение мнений, позиций, в ходе которого каждая сторона аргументировано отстаивает свое понимание обсуждаемых проблем и стремится опровергнуть доводы другой стороны. Эристика – это искусство ведения спора.

Логическая ошибка (паралогизм) – это непреднамеренное нарушение правил логики в процессе рассуждения.

Логическая уловка (софизм) – преднамеренное нарушение правил логики в процессе рассуждения.

Рассмотрим правила и ошибки по отношении к основным элементам доказательства – тезису, аргументам и демонстрации.

Правила по отношению к тезису:

1) определенность тезиса - он должен быть сформулирован четко и ясно.

2) неизменность тезиса – нельзя отступать от первоначального положения в процессе рассуждения.

Ошибки по отношению к тезису:

1. Потеря тезиса.

2. Полная подмена тезиса: выдвинув одно положение, обосновывают нечто другое.

Возможны следующие разновидности подмены тезиса:

а) «аргумент к личности» – при обсуждении идей или действий лица, переходят к обсуждению самого лица.

б) «логическая диверсия» - переключение внимания слушателей на обсуждение другого сходного тезиса.

3. Частичная подмена тезиса.

Разновидности:

а) сужение или смягчение своего первоначального суждения.

б) усиление или расширение тезиса противника.

Правила по отношению к аргументам:

1) Достоверность, т.е. истинность и доказанность аргументов.

2) Аргументы обосновываются автономно, т.е. независимо.

3) Аргументы не должны противоречить друг другу.

4) Аргументы должны быть достаточными для данного тезиса.

Ошибки по отношению к аргументам:

1) «основное заблуждение» – это принятие за истину ложного аргумента

2) «предвосхищение основания» – в качестве аргументов используются произвольно взятые положения (слухи, предположения и т.д.).

3) «круг в демонстрации» – недоказанным тезисом обосновываются недоказанные аргументы

4) недостаточность аргументов – ведет к широкому и поспешному обобщению.

5) избыток аргументов – нанизывая аргументы, можно незаметно брать и противоречащие.

Правила по отношению к демонстрации при дедуктивном умозаключении:

1) Точное определение в большей посылке исходного положения.

2) Точное и достоверное описание в меньшей посылке конкретного события.

3) Точное соблюдение правил конкретного умозаключения.

Правило по отношению к демонстрации при индуктивном умозаключении:

Чем больше число однородных явлений и разнообразней условия их отбора, тем достовернее индуктивная аргументация.

Правила по отношению к демонстрации при аргументации в форме аналогии:

1) Сходство между явлениями в существенных признаках;

2) Учет различий между явлениями.

Ошибки демонстрации («мнимого следования») связаны с отсутствием логической связи между аргументом и тезисом. Т.е. логически слабыми аргументами (узкими, условными, относительными или проблематичными) обосновывают логически более сильный тезис (широкий, безусловный, безотносительный или достоверный).

Основные логические уловки:

1) Аргумент к силе (нелогическое принуждение: физическое, экономическое и т.д.);

2) Аргумент к невежеству (навязывают мнение, используя неосведомленность аудитории);

3) Аргумент к выгоде (принимают тезис, потому что выгодно);

4) Аргумент к здравому смыслу (понятие здравого смысла часто обманчиво);

5) Аргумент к состраданию;

6) Аргумент к авторитету (ссылка на авторитет вместо логического обоснования).

Заключение

Таким образом, мы рассмотрели доказательство, его структуру, роды и виды, а так же ознакомились с правилами доказательства и возможными логическими ошибками.

53. Правила по отношению к аргументам, возможные ошибки и уловки