ALL

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

•Все конические сечения являются частными случаями кривых, задаваемых общим уравнением второго порядка

• Ах2 + Вху + Су2 +Dx + Ey + F = 0

(15)

•где А, В, С, D, E, F — константы. Коническое сечение —это любая плоская кривая, удовлетворяющая уравнению (15).

•Конические сечения являются центральными — эллипс и гипербола (окружность это частный случай эллипса) или нецентральными — парабола.

•Кроме того, существует ряд вырожденных форм, которые все центральны. Необходимо определить для заданных значений констант, какое сечение задает уравнение (15) — центральное или нецентральное. Также нужно выделить все вырожденные случаи.

•уравнение (15) можно записать в матричной форме

•	x	A D / 2	D / 2	x
		y 1 B / 2 C	E / 2	y	0
		D / 2 E / 2	F
				1
•	или [X][S][X]T =0			(16)

•Матрица [S] симметрична относительно главной диагонали.

1. Приведем сечение к стандартному виду.

•Для центрального сечения (эллипс или гипербола) – центр находится в начале координат, а оси располагаются вдоль осей координат.

•Для нецентрального сечения (парабола) ось симметрии параболы совпадает с положительной осью х, вершина находится в начале координат, и парабола раскрывается направо. Сечение приводится к стандартному виду переносом и вращением.

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

1.Для центральных сечений линейные члены уравнений (15) или (16) уничтожаются

переносом центра сечения в начало координат. После этого уравнение (16) принимает вид

•

[X][Tr][S][Tr]T [X]T = 0,

(17)

•где матрица переноса [Тг] такова:

T		1		2A`	B`	D`
S` X S X			D`		1C` E`
	2		D`		E`	2F`

• А' = А ; В' = В ; С' = С ; D' = 2 Am + Bn + D ; Е' = Вm + 2Сn + Е ;

•2F' = mD' + nЕ' + (Dm + En + 2F).

•[S’] также симметрична.

•Следовательно, уравнение (15) преобразуется к

•А'х2 + В'ху + Су2 + D'x + Е'у + F' = 0.

•Коэффициенты переноса m и n для уничтожения линейных членов вычисляются из условия D' = Е' = 0. Отсюда

•2Аm + Bn + D = 0,

•Вm + 2Сn + Е = 0

•или в матричном виде

•	2A	B		D		(18)
	m n B	2C			E

•что можно записать как [M][L] = [Q].

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

•Если [L] инвертируема, существует решение для [М], и сечение центрально, т. е. это эллипс или гипербола.

•Если [L] не инвертируема, т. е. сингулярна, то решения для [М] не существует, и сечение не центрально (парабола). Детерминант сингулярной матрицы равен нулю:

•	det L		L			2A	B	0	(19)
						B	2C
•	или

•В2 - 4АС = 0.

•Уравнение (15) представляет параболу при В2 —4АС = 0 и центральное сечение при В2

— 4АС 0.

•Если сечение центрально и В2 — 4АС < 0, уравнение представляет эллипс, а если В2 — 4АС > 0 — гиперболу.

1.Независимо от инвертируемости [L] оси сечения можно поворотом сделать параллельными осям координат. Вернемся к уравнению (16). Используем матрицу плоского поворота [R]

•	[X][R][S][R]T[X]T = 0, (20)	cos		sin	0
•	где для угла поворота θ она такая:	R sin		cos	0
			0	0	1
•	Конкатенация матриц дает

•[X][S"][X]T = 0, (21)

•	где A" = A cos2 θ + В cosθ sinθ + Csin2 θ, В" = 2(C - A) cosθ sinθ +B(cos2θ - sin2θ),
•	C" = A sin2θ - Bc cosθ sinθ + C cos2 θ, D" = D cosθ +Е sinθ, E" = E cosθ — P sinθ, F" = F.

•[S"] симметрична.

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

•Если оси сечения параллельны осям координат, член Вху в уравнении (15) отсутствует. Поэтому нулевой коэффициент дает угол поворота:

•2(С - A) cosθ sinθ + B(cos2θ - sin2θ) = 0

•или

•(С - A) sin2θ + B cos2θ = 0.

•Решим это уравнение относительно угла поворота :

•		1		B		(22)
			arctg
•		2		A C
	Для этого угла [S"] принимает вид

•Центральное сечение можно привести к стандартному виду комбинацией переноса и

поворота: [X][Tr][R][S][R]T[Tr]T[X]T = 0.	(23)
• Конкатенация внутренних матриц дает	[S'"] = [Tr][R][S][R]T[Tr]

•где

•(24a)

•(24b)

•(24c)

•	(24d)	= 2Am + Bn + D,	(24g)
•	(24e)	= Вm + 2Cn + E,	(24h)
•	(24f)	= Dm + En + 2F.	(24i)

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

•Заметим, что это диагональная матрица, т. е. все недиагональные элементы равны нулю. Поворот устраняет член (B'" = 0), а перенос — линейные члены (D"' = E'"= 0).

•Угол вращения задается уравнением (22). Как и раньше, коэффициенты переноса можно получить, приравняв D"' и E'" к 0.

•2 Am + Bn = 0

•Вm + 2Сn + E = 0.

•Отсюда получаем решение

•для центрального конического сечения В2 — 4АС 0. Запишем уравнение:

•х2+ у2 = к, (24)

•что является стандартным видом конического сечения. Остается систематически исследовать результат для различных значений и .

•Если к больше нуля, то и положительны, и сечение — эллипс.

•Если они имеют разные знаки и ни один из них не равен нулю, то сечение — гипербола.

•Если и отрицательны, решения не существует.

•Оба и одновременно не могут быть равны нулю, так как в этом случае уравнение (24) не содержит членов второго порядка.

•Однако один из коэффициентов или может быть нулевым. Пусть = 0 (если = 0, замена х на у дает = 0), тогда уравнение (24) принимает вид

•х2 = —к.

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

•Решением являются две параллельные линии

•при —к/а > 0. Если —к/а < 0, то решения нет.

•Если к = 0, есть две возможности: и имеют одинаковые или разные знаки. В обоих случаях решение вырожденное.

•Если знаки и одинаковы, уравнению удовлетворяет только начало координат х = у = 0. Можно считать, что это предельный случай эллипса.

•Если знаки и различны, уравнение (24) принимает вид

•

или

•т. е. это пара прямых, пересекающихся в начале координат, — предельный случай гиперболы.

•Наконец, если = 0 (если = 0, замена х на у дает = 0), то решение — ось у для всех значений.

•Для нецентрального сечения, параболы, оба линейных члена устранить нельзя, однако можно убрать один линейный и один квадратичный член для х или у. Применим оператор переноса к квадратному уравнению после поворота:

•где

•А+ = А", (25а)

•С+ = С", (25Ь)

•D+ = 2A"m + D", (25c)

•Е+ = 2С"n + Е", (25d)

•F+ = (m/2)D+ + (n/2)Е+ + (mD" + nЕ" + 2F"). (25е)

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

•Угол поворота задан уравнением (22). Здесь либо А+ = А", либо С+ = С" обратится в нуль. Один из линейных членов для х или у устраняется, если D+ или Е+ приравнять к нулю. Пусть D+ = 0, тогда

• (26а)

•Если Е+ = 0, то

• . (26Ь)

•Заметим, что при А" = 0 значение m не определено, следовательно, устраняются только линейные члены относительно у.

•Если С" = 0, не определено n и устраняются только члены с х.

•Предположим, что уничтожены линейный у- член (Е+ = 0) и квадратичный х- член (А+ = 0) (если = 0, замена х и у дает = 0). Тогда [S+] принимает вид

•Запишем уравнение конического сечения

•у2 + 2 x = к. (27)

•Чтобы привести параболу к стандартной ориентации с вершиной к в центре координат, перенесем ее по оси х на

•Все вырожденные формы сечений центральны, т.е. парабола—это единственное нецентральное сечение. Результаты собраны в табл.

Пространственные кривые

•Трехмерные, или пространственные, кривые широко используются в проектировании и разработке самой различной продукции: автомобилей, кораблей, самолетов, обуви, бутылок, зданий и т. д.

•Также они имеют большое значение для описания и интерпретации физических явлений в геологии, физике и медицине.

•Поверхности часто изображаются как сеть кривых, лежащих в ортогональных секущих плоскостях, с трехмерными контурами деталей.

1.Сечения могут быть получены оцифровкой физической модели или чертежа и математическим подбором кривой, проходящей через все заданные точки.

Основные два метода: кубические сплайны и параболическая интерполяция.

Существуют и другие реализации этого подхода.

2.Другой подход состоит в том, что математическое описание кривых генерируется без изначального знания формы кривой.

•Его примеры — это кривые Безье и их обобщение до В-сплайнов.

•Эти методы отличаются тем, что кривая может не проходить ни через одну заданную точку. Контрольные точки определяют только направление изгиба.

•Оба подхода можно применить при любом способе задания кривой.

Базовые растровые алгоритмы