ALL

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

•Для представления данных и выполнения преобразований с помощью умножения матриц используются различные соглашения. Наибольшее внимание нужно уделять формулировке задач и интерпретации результатов.

•Например, для поворота необходимо определить:

–В правосторонней или левосторонней системе координат определяются поворачиваемые координатные векторы?

–Вращается объект или система координат?

–Как определяются положительный и отрицательный повороты?

–Координаты записываются в виде строки или столбца матрицы?

–Вокруг какой линии или оси осуществляется поворот?

•Мы использовали правостороннюю систему координат, объект вращается в неподвижной координатной системе, положительный поворот определяется правилом правой руки, т. е. поворот по часовой стрелке осуществляется вокруг оси при наблюдении от начала вдоль положительной оси, и координатные векторы представляются в виде строки матрицы.

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

• Выражение	T cos	sin	задает преобразование для положительного
	sin	cos

поворота вокруг начала координат или оси z.

• Так как вектор задается строкой матрицы, то матрица преобразования должна быть после данных или матрицы координатных векторов. Это преобразование задается путем умножения справа. В случае однородных координат для положительного поворота объекта на угол θ вокруг начала координат (оси z) использование умножения справа приводит к следующему результату:

	•	[X*] = [Х][R],	x*		1 x	cos		sin	0	(4)
				y*		y 1 sin		cos	0
							0	0	1

•Если мы подставим координатные векторы, заданные в однородных координатах в виде столбца матрицы, то поворот можно выполнить следующим образом:

•	[X*] = [R]-1 [Х]	x*	cos	sin	0 x	(5)
•		y*	sin	cos	0 y

0 0 1

1 1

•Это выражение - преобразование с умножением слева, матрица преобразования расположена перед столбцом координатного вектора или данных.

•Заметим, что 3 х 3-матрица в выражении (5) есть транспозиция 3 х 3- матрицы из выражения (4). Это свидетельствует о независимости строк и столбцов матрицы.

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

•Чтобы повернуть систему координат и оставить координатные векторы неизмененными, необходимо в выражении (4) заменить θ на -θ.

•sin θ = - sin(-θ),

•cos θ = cos(-θ).

•Теперь выражение (4) будет иметь вид

x*		1 x		cos		sin	0
	y*		y 1 sin			cos	0
				0		0	1

•3 х 3-матрица опять имеет обратную и также транспонируется в матрицу из (4).

•Если вращается система координат и используется левосторонняя координатная система, то замену θ на -θ надо производить дважды, а уравнение (4) снова оказывается справедливым при допущении, что применяется последующее умножение на строку матрицы данных.

•

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

•Как показано на рис. 16, вращение против часовой стрелки векторов, задающих объект, идентично повороту в том же направлении координатных осей при неподвижном объекте.

•Нет необходимости в изменении содержимого матрицы преобразования 3x3, если нет других причин для ее редактирования. Эти несколько примеров показывают, насколько аккуратно необходимо выполнять матричные преобразования.

Рис . 16 Эквивалентность преобразования координатных векторов и систем координат

Пространственные преобразования и проекции

Матрица преобразования трехмерных объектов и назначение ее элементов.

•Вводим однородные координаты. Таким образом, точка в трехмерном пространстве [х у z] представляется четырехмерным вектором

• [х‘ у‘ z‘ h] = [x у z 1][T],

•где [T] - матрица некоего преобразования.

•Как и ранее, преобразование из однородных координат в обычные задается формулой

x*

y*

z*

h

x

/

y

/

z

/

1

h

h

h

•Т.е. делением на h.

•Матрица преобразования для объемных объектов

				a	b	c	o
	y1
x1		z1 1		d	e f p
x2	y2	z2	1	* g	h k r
...................
...................				l	m	n	s

•Матрицу преобразования 4 х 4 из можно разделить на четыре отдельные части:

		3 3		3 1
		1 3		1 1

Матрица преобразования трехмерных объектов и назначение ее элементов.

•Подматрицы преобразования

a	b	c		o
d	e	f		p
g	h	k		r
	m	n
l				s

•3 x 3

•Коэффициенты a, е, k – изменение масштаба по осям и отображение относительно плоскостей или начала координат.

•Остальные коэффициенты – отвечают за поворот объектов вокруг осей, отдельно – за сдвиг.

•1 x 3

•Коэффициенты l, m, n – параллельный перенос объектов вдоль осей x, y, z, соответственно.

•

•3 x 1

•отвечает за преобразование тела в перспективе.

•1 x 1

•Коэффициент s – отвечает за изменение масштаба всей фигуры и отображение фигуры относительно начала координат.

ТРЕХМЕРНОЕ МАСШТАБИРОВАНИЕ

•Диагональные элементы 4 х 4-матрицы обобщенного преобразования задают локальное и общее масштабирование. Для иллюстрации этого рассмотрим преобразование

	a	0	0	0		zj 1 x*			1
X T x	y z 1 0 e		0	0	ax ey		y*	z*
	0	0	j	0
		0	0
	0			1

•которое показывает действие локального масштабирования.

ТРЕХМЕРНОЕ МАСШТАБИРОВАНИЕ																												A
																				0	0		1
																									1			B
																				2	0		1
• Локальное масштабирование – пример																									1
																			2		3		1		1			C
• Дан прямоугольный параллелепипед (ПП) (рис. 1 а)																		X	0		3		1		1
																												D
																				0	0		0					E
• со следующими однородными координатами вершин:																									1
																			2		0		0		1
			y																									F
				H					G						» Нужно получить из него единичный куб				2		3		0		1			G
	D																		0 3				0		1			H
															» с помощью локального масштабирования			,	x						h
						C															y		z
														3 » введем масштабные множители 1/2, 1/3, 1 вдоль осей х, у, z
																соответственно. Преобразование локального						1
				E							F					масштабирования задается матрицей							0			0		0
														x								2
													1										1
	A					B													T 0							0		0
z			2
																							3
	рис. 1 а																					0	0			1		0
																						0	0			0	1
• Результирующий куб имеет следующие однородные координаты вершин:

•Заметим, что однородный координатный множитель h равен единице для каждой из преобразованных вершин. Результат масштабирования показан на

	рис. 1 b.													0	0	1									0	0	1
																	1											1
•		y	H					G					2		0	1	1							1		0	1	1
													2		3	1	1 1/ 2			0 0	0			1		1	1	1
	D					C						X * X T
																		0			0
								1						0	3	1	1			1/ 3 0					0 1		1	1
													0		0	0	1		0	0 1	0			0		0	0	1
													2		0	0	1		0	0 0	1			1		0	0	1
		E							F		x		2		3	0	1							1		1	0	1
								1
	A 1 B
z													0		3	0	1							0		1	0	1

ТРЕХМЕРНОЕ МАСШТАБИРОВАНИЕ

•Общее масштабирование

																1	0	0	0
•	Для общего масштабирования единичного куба на множитель T 0																1	0	0
•	два (удвоение размера), необходимо преобразование															0	0	1	0
																0	0	0	1 2
• Полученный параллелепипед имеет следующие однородные координаты
	вершин:		0	0	1	1					0	0	1	1/ 2
		1		0	1	1				1		0	1	1/ 2
		1				1				1				1/ 2
	X / X * T			1	1		1 0 0	0				1	1
			0	1	1		0 1 0	0			0 1 1 1/ 2
						1
		0		0	0	1	0 0 1	0		0		0	0	1/ 2
			1	0	0						1 0 0 1/ 2
						1	0 0 0	1/ 2
		1		1	0	1				1		1	0	1/ 2
				1	0							1	0
		0				1				0				1/ 2
•	однородный координатный множитель h для каждой из преобразованных

вершин равен 0,5. т.е. чтобы получить обычные или физические координаты,

каждый вектор необходимо разделить на h.

•Преобразованные физические координаты получаются проецированием через центр 4-мерной координатной системы обратно в физический объем h = 1.

•Если s < 1, происходит однородное расширение.

•Если s > 1, происходит однородное сжатие координатного

		0	0	2	1
	2		0	2	1
X *	2		2	2	1
		0	2	2
					1
	0		0	0	1
	2		0	0	1
	2		2	0	1
			2	0
	0				1

вектора.