ALL

КОСОУГОЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ

•В противоположность ортографическим и аксонометрическим проекциям, для которых проекторы перпендикулярны плоскости проекции, косоугольная проекция формируется параллельными проекторами с центром, лежащим в бесконечности, расположенными под косым углом к плоскости проекции.

•Косоугольные проекции показывают общую трехмерную форму объекта.

•Истинные размер и форма изображаются только для граней объекта, расположенных параллельно плоскости проекции, т.е. углы и длины сохраняются только для таких граней.

•Косоугольная проекция этих граней эквивалентна ортографическому виду спереди. Грани, не параллельные плоскости проекции искажаются.

•Косоугольные проекции — кавалье и кабине. Проекция кавалье получается,

когда угол между проекторами и плоскостью проекции составляет 45°. Коэффициенты искажения для всех трех главных направлений одинаковы. Результат выглядит неестественно утолщенным. Для «коррекции» используется проекция кабине.

•Проекцией кабине называется такая косоугольная проекция, у которой коэффициент искажения для ребер, перпендикулярных плоскости проекции, равен 1/2. для проекции кабине угол между проекторами и плоскостью проекции составляет arcctg(l/2) = 63.43°.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КРИВЫХ

Отображение в окне

•(Дополнение к 03).

•Отображение на плоскость проецирования может быть рассмотрено как некое преобразование координат.

•Это преобразование координат может быть различно для разных типов проекции, но всегда осуществляется переход к новой системе координат —

координатам проецирования.

•Координаты проецирования могут быть использованы для формирования изображения с помощью устройства графического вывода. Но при этом могут понадобиться дополнительные преобразования, поскольку система координат в плоскости проецирования может не совпадать с системой координат устройства отображения. Например, должны отображаться объекты, измеряемые в километрах, а в растровом дисплее единицей измерения является пиксел.

•Кроме того, на экране компьютера можно показывать увеличенное, уменьшенное изображение объектов, а также их перемещать.

•

Отображение в окне

•Введем обозначения.

•Пусть (Хэ, Уэ, Zэ) — это "экранные" координаты объектов в графическом устройстве отображения (любое устройство, использующее декартову систему координат).

•Координаты проецирования обозначим здесь как (X, У, Z).

•Назовем окном прямоугольную область

вывода с экранными координатами (Хэmin Уэmin)

– (Хэmax Уэmax).

•Обычно в окно отображают или всю сцену, или отдельную ее часть (рис. 1).

•Преобразование координат проекции в экранные координаты можно задать как масштабирование и сдвиг:

•Такое преобразование сохраняет пропорции объектов благодаря одинаковому коэффициенту масштабирования (К) для всех координат.

•Для плоского отображения координату Z можно отбросить.

а)

Рис. 1 Отображение проекции сцены:

a) границы сцены в координатах проекции; б) в окне часть сцены, в) вся сцена с сохранением пропорций вписана в окно

Отображение в окне

•Например, необходимо вписать все изображение сцены в окно заданных размеров.

•Условие вписывания можно определить :

•Из неравенств (1) и (3) получим коэффициент

•масштабирования

•

•Из неравенств (2) и (4) :

•Решением системы (1)—(4) для K будет: К min {КX, КY} = Кmin

•Если значение КX или значение КY равно бесконечности, то его необходимо отбросить.

•Если оба – то значение Кmin можно задать равным единице. Для того чтобы изображение в окне имело наибольший размер, выбираем К = Кmin.

• Найдем интервал для dx. Из (1). dx Xэmin - KXmin = dx1 Из (3).

dx Xэmax - KXmax = dx2

•Поскольку dх1 dх2 то величину dх можно выбрать из интервала dх1 dх dх2.

•Выберем центральное расположение в окне:

•Аналогично для dу:

•

•При этих значениях dx и dy центр сцены будет в центре окна.

•Если в окне необходимо показать с соответствующим масштабом часть сцены, то числовые значения масштаба (К) и координаты сдвига (dх, dу) можно прямо задать.

•Понятно, что выбор К, dх, dу нужно ограничить диапазоном допустимых значений.

(04)ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КРИВЫХ

1.Кривая может быть представлена совокупностью точек, соединяя их отрезками прямой, получим изображение кривой.

–На рис. 1 показаны разные точечные представления.

•Точки на кривой 1а расположены равномерно по ее длине. Результат - плохое представление кривой, особенно если мал радиус кривизны.

•Улучшить вид можно, увеличивая плотность точек в некоторых участках, рис. 1б.

2.Предпочтительнее Аналитическое представление.

•Преимущества — точность, компактность записи и простота вычисления промежуточных точек.

–Аналитическое представление позволяет без труда определить наклон и радиус кривизны, а при точечном представлении для этого требуется численное дифференцирование — процедура неточная.

–При аналитическом представлении кривой можно точно определить положение любой точки, а при точечном нужна интерполяция, причем в общем случае результат интерполяции не принадлежит кривой.

Рис. 1 Точечное представление кривых, (а) Равномерная плотность

точек вдоль кривой; (Ь) плотность точек возрастает

с уменьшением радиуса кривизны.

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ

•Математически кривая может быть представлена в параметрической или непараметрической форме.

•Непараметрическая кривая задается в виде явной или неявной функции. Для плоской кривой явное непараметрическое представление имеет вид:

•y= f(x)

•Пример — уравнение прямой, у = mx + Ь. При этом одному значению х соответствует только одно значение у, поэтому замкнутые или многозначные кривые, например окружность, явно представить нельзя.

•Неявное представление позволяет обойти это ограничение.

•f(x,y) = 0.

•Общий вид неявного уравнения второй степени

•ах2 + 2bху + су2 + 2dx + 2еу + f = 0

•порождает различные двумерные кривые, называемые коническими сечениями.

•Определяя коэффициенты a, b, c, d, e и f, можно получить разные конические сечения.

•Если сечение задано относительно локальной системы координат и проходит через ее начало, то f= 0.

•Для того чтобы провести кривую через данные точки, используются граничные условия.

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ

•ах2 + 2bху + су2 + 2dx + 2еу + f = 0

•Граничные условия

•Пусть с = 1.0, тогда сегмент кривой между двумя точками определяется пятью независимыми условиями, из которых вычисляются оставшиеся коэффициенты a, b, d, e и f. Например, можно указать положение крайних точек, наклон кривой в них и промежуточную точку на кривой.

•Если b = 0 и с = 1.0, то аналитическое представление кривой получается с помощью четырех дополнительных условий, например положения концевых точек и наклона кривой в них.

•Кривая при a = 1.0, b = 0 и с = 1.0 :

•х2 + у2 + 2dx + 2ey + f = 0.

•Тремя условиями для вычисления d, e и f могут быть две концевые точки и наклон кривой в одной из них или же две концевые точки и третья точка на кривой.

•При a = b = с = 0 получается прямая линия. Ее уравнение

•dx + еу + f = 0

•или

•у = - (d/e)х – (f/e) = mх +b'

•где m — наклон линии, b' — пересечение с осью у.

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ

•На рис. 2 изображены три вида конических сечений — парабола, гипербола и эллипс. Окружность — частный случай эллипса.

•Как явное, так и неявное непараметрическое представление

осезависимо, т. е. сложность обработки зависит от выбора системы координат.

•Если точки на осезависимой непараметрической кривой вычисляются с равномерным приращением по х или у, они не будет равномерно распределены вдоль кривой - может повлиять на качество и точность графического изображения.

•Параметрическое представление позволяет обойти эти ограничения.

Рис. 2 Конические сечения.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ

•В параметрическом виде каждая координата точки кривой представлена как функция одного параметра. Значение параметра задает координатный вектор точки на кривой. Для двумерной кривой с параметром t координаты точки равны:

• x =x(t), y = y(t).

•Тогда векторное представление точки на кривой:

•P(t) = [x(t) y(t)]

•Параметрическая форма позволяет представить замкнутые и многозначные кривые. Производная, т. е. касательный вектор, есть

• P'(t) = [x'(t) y'(t)], где ' - дифференцирование по параметру.

•Наклон кривой, dy/dx, равен

•При x'(t) = 0 наклон бесконечен.

•Параметрическое представление не вызывает в этом случае вычислительных трудностей, достаточно приравнять нулю одну компоненту касательного вектора.

•Точка на параметрической кривой определяется только значением параметра, не зависит от выбора системы координат.

•Конечные точки и длина кривой определяются диапазоном изменения параметра.

•Удобно нормализовать параметр на интересующем отрезке кривой к 0 < t < 1.

•Осенезависимость параметрической кривой позволяет проводить с ней аффинные преобразования, рассмотренные ранее.