ALL

Плоские геометрические проекции

•Для разработки различных проекций используют два разных подхода.

1.В первом предполагается, что центр проекции или точка зрения фиксирована, а плоскость проекции перпендикулярна каждому проектору, как это показано на рис. 2 а. Для получения результата манипулируют объектом.

2.Во втором подходе предполагается, что объект фиксирован, центр проекции может как угодно перемещаться в трехмерном пространстве, а плоскость проекции не обязательно перпендикулярна направлению взгляда. На рис. 2 b приведен пример этого.

•Оба подхода математически эквивалентны.

плоскость

проекции

центр

проек

ции

Рис. 2 Плоские проекции, (а) Фиксирован центр проекции; (b) фиксирован объект. центр проекции

Параллельные проекции. ОРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

•Самая простая из параллельных проекций - ортографическая проекция. В этом случае точно изображаются «истинные» размер и форма одной

плоской грани объекта. В О. проекции предметы
представляются такими, какими они	z
представлялись бы наблюдателю, смотрящему с

бесконечного расстояния. Например план есть О. y проекция местности на горизонтальную плоскость, проведенную через середину участка.

•Ортографические проекции — это проекции на одну из координатных плоскостей х = 0; у = 0 или z = 0. Матрица проекции на плоскости имеют вид

	1	0	0	0				0	0	0	0			1	0	0	0
P 0		0	0	0		P 0 1				0	0		P 0 1			0	0
y	0	0	1	0		x	0		0	1	0		z	0	0	0	0
	0	0	0	1			0 0			0	1			0 0		0	1

•Ортографические проекции объекта на рис. 3 а на плоскости х = 0, у = 0 и z = 0 из центров проекций, расположенных в бесконечности на +х-, +у- и + z- осях соответственно, изображены на рис. 3 b, с и d соответственно.

y

x

x

z

y

z

x

рис. 3

Для получения достаточной информации для визуального и практического воссоздания формы объекта необходимо

нескольких ортографических

проекций.

ОРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

•	Многовидовые ортографические проекции
	организуются, как показано на рис. 4.
• Виды спереди, справа и сверху -
	проецирование на плоскости z = 0, z = 0 и y =
	0 из центров проекции в бесконечности на
	+z, +x и +у осях.
• Виды сзади, слева и снизу - проецирование
	на плоскости z = 0, х = 0, у = 0 из центров
	проекции в бесконечности на -z, -х и -у осях.
• Координатные оси не изображаются.
• Невидимые линии изображают пунктиром.
• Виды спереди и с боков называют главным
	и боковыми фасадами, вид сверху - планом.
• все шесть видов могут быть получены
	комбинациями отражения, вращения и
	переноса с последующим проецированием
	на плоскость z = 0 из центра проекции,
	расположенного в бесконечности на оси z.
•	Для объектов с гранями, не параллельными	рис. 4.
	одной из координатных плоскостей
	используются вспомогательные виды.

Для ортогональной проекции объемного тела на плоскости. Построение видов сверху, спереди, слева, сзади, снизу, справа.

•Ортогональная проекция - частный случай параллельной проекции, когда ось или плоскость проекций перпендикулярна (ортогональна) направлению проектирования.

•Отображение вокруг произвольной плоскости в пространстве

1.- определить угол наклона

2.- повернуть (что бы совпало с одной из линий)

3.- потом, еще раз поворачиваем, что бы совпало со всей плоскостью.

4.- отобразить

5.- отказаться от первых трех подготовительных операций.

• объект		1	0		0	0		cos		sin	0	0	1	0	0		0	cos		0	sin	0
		0	1		0	0	Tz	sin		cos	0	0	0	cos	sin		0		0	1	0	0
		* 0	0		0	0			0	0	1	0	Tx 0	sin	cos		0	Ty sin		0	cos	0
		0 0		0		1			0	0	0			0	0				0	0	0
												1	0				1					1
•	Проекция трехмерного								Поворот					Поворот						Поворот
объекта на плоскость XOY
									вокруг оси ‘z’				вокруг оси ‘х’						вокруг оси ‘y’
(т.е. все точки z=0)

•Для проекции сверху.

объект			1	0	0	0		1	0	0	0	•Повернуть вокруг оси x
												на 90 градусов, верхняя
			0	0	1	0		0	1	0	0
		*					*					грань окажется спереди
			0	1	0	0		0 0		0	0	и применить матрицу
				0	0				0	0
			0			1		0			1	проецирования.

	Поворот на 90°	Матрица
		проецирования
	cos90°=0 sin90°=1

АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

•Аксонометрическая проекция образуется манипулированием объекта с помощью поворотов и перемещений таким образом, что бы были видны по крайней мере три соседние грани.

•Результат затем проецируется с центром проекции, расположенным в бесконечности, на одну из координатных плоскостей, обычно на плоскость z = 0.

•Особенности

•Если грань не параллельна плоскости проекции, то аксонометрическая проекция не показывает истинную форму этой грани.

•Относительные длины параллельных в исходном пространстве линий остаются постоянными , т. е. параллельные линии искажаются одинаково.

		Коэффициентискажения	длина проекции отрезка
	•		истинная длина отрезка

•Рассмотрим три аксонометрические проекции: триметрическая, диметрическая и изометрическая.

•В триметрической проекции меньше всего ограничений, а в изометрической — больше всего.

•Изометрическая проекция есть частный случай диметрической, а диметрическая

проекция есть частный случай триметрической.

АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

•Триметрическая проекция строится произвольными поворотами вокруг любых координатных осей, совершаемыми в произвольном порядке, с последующим проецированием на плоскость z = 0.

•В общем случае для триметрической проекции коэффициенты искажения по каждой из проецируемых главных осей (х, у и z) не равны друг другу.

•Коэффициенты искажения вычисляют с помощью применения общей матрицы преобразования к единичным векторам вдоль главных осей.

•
1	0	0
U T 0	1	0
0	0	1

			x	*
	1			x
	1 T x*y
	1			*
		xz

y*x y*y

y*z

		•где [U] есть матрица единичных
0	1	векторов вдоль
0	1	нетрансформированных осей х, у и z
1		соответственно, а [Т] — общая
	1
		матрица триметрической проекции.

•Тогда коэффициенты искажения вдоль спроецированных главных осей равны

f x

x*x2 y*x2

f y

x*y2 y*y 2

f z

x*z 2 y*z 2

•Наложение ограничений на коэффициенты уменьшает диапазон триметрических проекций.

АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

•Диметрическая проекция — это триметрическая проекция с двумя одинаковыми коэффициентами искажения, третий коэффициент может иметь любое значение.

•Диметрическая проекция строится с помощью

•поворота на угол ф вокруг оси у, затем поворота на угол θ вокруг оси х и проецирования на плоскость z = 0 с центром проекции, расположенным в бесконечности. Результирующее преобразование. (углы пока неизвестны)

cos		0	sin		0
								0			0		0		0	0	0
T Ry Rx Rz sin		0	cos			1								1
					0 0		sin				cos		0 0		0	0	0
	0	1	0		0 0		cos				sin		0 0		1	0	0
	0	0	0					0			0					0
					1 0								1 0 0				1
				sin sin
• Объединение матриц		cos						0		0
			0		cos			0		0
	T sin			cos sin				0		0
			0		0			0
										1

•Единичные векторы на главных осях х, у и z преобразуются в

	1	0	0	1	cos			sin sin	0	0	cos		sin sin	0	1
										0	U* U T 0		cos		1
	U * U T 0	1	0	1		0		cos	0					0
•	0	0	1	1	sin			cos sin	0	0	sin		cos sin	0	1
						0		0	0
										1

АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

• Квадрат длины преобразованного единичного вектора вдоль оси х, т. е. квадрат коэффициента искажения,

равен

*2

*2

2

cos

2

sin

2

sin

2

fx

xx

yx

2

* 2

• Вдоль Y и z

2

*

cos

2

f y

xy

y y

*2

*2

2

2

cos

2

sin

2

fz

xz

yz sin

•

Выполнив ряд несложных

тригонометрических действий,

получим

arcsin fz

2

•

arcsin

fz

2

2 fz

•

Диапазон коэффициентов

искажения равен 0 < f < 1.

Рис. 6 Диметрические проекции для разных значений коэффициента искажения - 0; 1/4; 3/8; 1/2; 5/8; ¾; 1 Для куба с отсеченным углом

•	Каждый коэффициент искажения fz
	порождает четыре возможных	Рис. 7 Четыре возможных диметрических проекции
	диметрических проекции.
		для коэффициента искажения 5/8 и углов поворотов
	Отрицательные коэффициенты
•		= ±29.52°, θ = ±26.23°.
	искажения не имеют смысла.	(а) = -29.52°, θ = +26.23°; (b) = -29.52°, θ = -26.23°;

(с) = +29.52°, θ = +26.23°; (d) = +29.52°, θ = -26.23°.

АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

•Диметрическая проекция позволяет проводить измерения с одинаковым масштабным множителем по двум преобразованным главным осям. Измерение вдоль третьей оси требует другого масштабного множителя. Это может привести к путанице и ошибкам, если требуется точное масштабирование размеров спроецированного объекта. Изометрическая проекция решает эту проблему

•В изометрической проекции все три коэффициента искажения равны.

sin2

sin2

sin2

1 2 sin2

1

sin2

1 sin2

1 3

1

Отсюда следует, что sin2 θ = 1/3 или и θ = ±35,26°. Тогда sin2

и = ±45°.

•

1 1 3

2

•

Существуют четыре возможных изометрических проекции (рис. 8). Коэффициент

искажения для изометрической проекции равен

f cos2 23 0.8165

•изометрическая проекция есть частный случай диметрической с fz = 0,8165

Рис. 8 Четыре возможных изометрических проекции с углами поворотов = ±45°, θ =

±35.26°.

•(а) ф = -45°, θ = +35.26°; (b) = -45°, θ = -35.26°; (с) = +45°, θ = +35.26°; (d) = +45°, θ= -35.26°.

Изометрические и диметрические проекции (кратко)

•	Изометрические и диметрические															y
																						1х*							1у*			2 *			1z*
	проекции на плоскости ХОУ формируют
															1у*
	изображение объемных тел, вид которых											1350
	создает иллюзию объемности.																			1х*							х
											450
•	Последовательность : тело вначале
	поворачивают вокруг оси у на некоторый										1z*
	угол, затем поворачивают вокруг оси х на									zПоворот фигуры вокруг оси ‘z’, оси ‘х’
	некоторый угол и потом проецируют.										cos			sin					0		0						1			0			0			0
											sin			cos					0		0						0			cos			sin			0
• Общий вид для изометрической и										T														T
										z		0				0			1		0			x			0			sin			cos			0
	диаметрической проекций											0				0			0											0			0
								1 0 0 0													1						0									1
	1 0 0 1										Поворот фигуры вокруг оси ‘y’
1х
								0 1 0 0			cos					0			sin					0
1у				Т		Т
	0 1 0 1							0 0 0 0		Ty														0
1z												0				1				0
	0 0 11			поворот		поворот					sin					0			cos					0
				вокруг у		вокруг х		0 0 0 1				0				0				0
	объект																							1
								проекция на		• Углы поворота вокруг осей:
	cos		sin sin		sin cos		0 ХОУ
		0		cos		sin	0			• =20,705					0									0
Т Т sin sin cos					cos cos		0										=22,208
		0		0		0						0,925820								0,133631										- 0,353553 0
							1
														0						0,935414										0,353553						0
• Если обнулить третий столбец, то получим										Т Т
	координаты точек спроецированные на
												0,377964								- 0,327329										0,866025						0
	осях х,у,z (т.е. на плоскости визуализации).													0										0									0			1