ФБТ БИ 1курс / мищерский 1975
.pdfОтвет: wc =•? |
= |
2Re0e2 + -§^- |
(е4 - 2е3),где и е4 — |
|
лежащие в |
плоскости |
рисунка |
единичные векторы, перпендикулярные |
|
к прямым |
ОС и ОВ |
соответственно (оба орта |
направлены вверх). |
§ 20. Пространственная ориентация; кинематические формулы Эйлера и их модификация; аксоиды
20.1. Искусственная горизонтальная площадка на качающемся корабле создается с помощью карданова подвеса. Ось у± вращения внешнего кольца параллельна продольной оси корабля; угол поворота внешнего кольца обозначается через р1 (угол бортовой качки). Угол поворота внутренней рамки обозначается через а. Для ориентации колец вводят три системы координат: система |г]£ связана с кораблем
t
К задаче 20.1.
(ось g направлена к правому борту, ось ц — к носу корабля, ось £— перпендикулярна к палубе); система x1y1z1 связана с внешним кольцом (ось ух совпадает с осью г\);система xyz связана с внутренним кольцом (ось х совпадает с хх). Положительные направления отсчета углов видны из рисунков; при а = 0 = 0 все системы отсчета совпадают.
Определить ориентацию (соответствующие направляющие косинусы) внутреннего кольца подвеса относительно корабля.
Ответ:
|
% |
|
|
|
|
£ |
|
X |
cosjj |
|
0 |
|
—sinp |
|
|
У |
sin a sin j3 |
|
cos а |
|
sin a cos P |
|
|
г |
cos a sin P |
|
— sin |
а |
cos a cos p |
|
|
20.2. Во втором способе установки карданова |
подвеса, описанного |
||||||
в предыдущей задаче, ось вращения |
внешнего |
кольца |
параллельна |
||||
поперечной оси |
корабля. При |
этом способе |
подвеса ось |
\, связанная |
|||
с кораблем, совпадает с осью |
хх |
вращения внешнего кольца, а ось у |
|||||
вращения внутреннего кольца |
совпадает |
с осью уь |
жестко связанной |
с внешним кольцом. Угол поворота внешнего кольца обозначается теперь а (угол килевой качки), а угол поворота внутреннего кольца — через р.
151
Определить ориентацию внутреннего кольца подвеса относительно
корабля.
Ответ:
|
л |
|
С |
X |
cosр |
sin к sin р |
— cos a sin P |
У |
0 |
cos a. |
sin a |
Z |
sing |
— sin л cos p |
cos a cosP |
Кзадаче 20.2.
20.3.Положение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку О, определяется тремя углами Эйлера: углом прецессии ф, углом нутации 6 и углом собственного вращения 9 (см. рисунок). Определить направляющие косинусы подвижной системы отсчета Oxyz.
Ответ:
|
% |
1 |
X |
cos фcos 6 cos f — sin ф sin f |
sin ^ cos 6 cos 9 -J-cos ^ s i° f |
У |
— cos фcos Ьsin cp— sin фcos <p |
— sin ^ cos 8 sin <p -\- cos Фcos 9 |
г |
cos фsin 6 |
sin Фsin 6 |
;
— sin 8 cos <f> sin 6 sin f
cos 6
20.4. Зная скорости изменения углов Эйлера, определить угловую скорость тела и ее проекции на оси неподвижной Ощ(, и подвижной Oxyz систем отсчета.
Ответ: со = |
j _ да _j_<^_j_2фф cos 65 |
|
|
u)£ = tpsin 0 cos ф— 8sin ф, u>n= ? s i n 9 sin ф-[-9 cos ф, |
шс = |
фcos 8 -\- ф; |
|
( Й ^ . ^ — 4>sin8coscp-j-8sin!p, (o)l = 4)sin8sin'f-|"9coscp, |
ш^= |
фcos6-|-4>. |
20.5. Для определения вращательного движения самолета с ним связывают ортогональную систему координат Схуг, причем ось х направляется по оси самолета от хвоста к кабине летчика, ось у располагается в плоскости симметрии самолета, а ось z — по размаху крыла вправо для летчика (С — центр тяжести самолета). Угловые перемещения самолета относительно осей Cbf, (горизонтальная ось \ направляется по курсу самолета, ось -ц — вертикально вверх, а горизонтальная ось С — перпендикулярно к осям %и ц) определяются,
152
как показано на рисунке, тремя самолетными углами: углом рыскания ф, углом тангажа 6 и углом крена ф.
Определить ориентацию самолета (системы отсчета Cxyz) относи-
тельно трехгранника С|т]£.
Ответ:
|
1 |
1 |
I |
X |
cos г|5 cos б |
sine |
— sin if cos 6 |
и |
sin i|> sin ф — cos i|) sin в cos ф |
COS 6 COS ф |
cos г|) sin ф + sin ^ sin 6 cos ф |
г |
sin ф cos ф + c o s г|> sin 6 sin ф |
— cos в sin ф |
cos i|) cos ф — sin t|) sin в sin ф |
|
|
|
К задачам 20.3 и 20.4. |
К задачам 20.5 и 20.6. |
20.6.Зная скорости изменения самолетных углов, определить
проекции угловой скорости самолета на оси систем |
координат Cxyz |
и С|г)£ (Ол. чертеж к предыдущей задаче). |
|
Ответ: со*=ф sin 8-fcp, |
^ ^ |
©У = ф cos 8 cos ф+ 8 sin ф, |
|
<»г = — ф cos 8sin ф-f- 8 cos ф; |
|
со*= ф cos ф cos 8-(- 8 sin ф, |
|
cog= — ф sin ф cos б-}- 6 cosяр.
20.7. Для исследования качки корабля и |
|
|
|||||
его устойчивости на курсе вводят три кора- |
|
|
|||||
бельных |
угла: |
ф — дифферент, 8 — крен |
и |
К задачам 20.7 |
и 20.8. |
||
ф —угол |
рыскания; |
система |
отсчета Cxyz |
|
|
||
жестко |
связана |
с кораблем;-С — центр |
тяжести |
корабля; ось х на- |
|||
правлена |
от кормы |
к носу, |
ось у — к |
левому |
борту, ось |
z — пер- |
пендикулярно к палубе; система координат С|т]£ ориентируется отно-
сительно курса |
корабля: ось £ вертикальна, горизонтальная ось \ |
|
направлена по |
курсу, горизонтальная ось т} — влево от курса |
(на |
рисунке изображены системы осей, введенных А. Н. Крыловым). |
|
. • |
153 |
Определить ориентацию корабля (координатных осей Схуг) относительно трехгранника
Ответ:
|
|
Е |
X |
cos ф cos<p -f s ' n Фsin 9sin9 |
|
У |
— cos ф sin9 |
+ s i n Фs ' n " cos<p |
г |
sin |
<|/ cos 8 |
1 |
С |
cos 8 sin 9 |
— sin ф cos ip+ cos Фsin •sinу |
cos 9cos <p |
sin 4* sin if -f-cos v sin вcos <{> |
- s i n 9 |
" cos ф cos 9 |
20.8. Зная скорости изменения корабельных углов, определить проекции угловой скорости корабля на оси систем отсчета Схуг и CSTJC (CM. чертеж к предыдущей задаче).
Ответ: ч>х = фcos бsin<p-f- бcos ср> ^ = 8 cos ф-f- <fsin ф cos б, • |
|
wy = фcos б cos tp—6 sin 9, ш = ф— фsin б, |
|
шг = — фsin 9-f- Т! |
ю^= — 0sinф+ фcos фcos 0. |
20.9. Точка -М (центр тяжести |
самолета, корабля) движется |
вдоль |
|||||||
поверхности Земли, принимаемой за шар радиуса R*)\ восточная состав- |
|||||||||
ляющая скорости точки |
равна VE> а северная V/f. Определить |
скорость |
|||||||
изменения |
широты |
9 |
и |
долготы |
X текущего положения |
точки М. |
|||
|
VN |
\ |
|
|
VE |
|
|
|
|
Ответ: |
ф= -тг, |
—-в |
; при положительных |
vE и v^ состав- |
|||||
ляющая ф |
направлена |
|
на |
запад, |
а составляющая |
%—по оси |
SN |
вращения Земли от Южного полюса к Северному.
|
К |
задачам 20.9. |
|
К задачам 20.10. |
|
|
20.10. Для изучения движения вблизи |
земной поверхности тел |
|||||
(самолетов, |
ракет, |
кораблей) и |
приборов, |
установленных |
на них, |
|
вводят |
подвижной координатный |
трехгранник —трехгранник |
Дарбу. |
|||
При географической |
ориентации |
трехгранника Дарбу OfrjC горизон- |
||||
тальная |
ось k направляется на |
восток, горизонтальная ось |
т\—на |
*) Здесь и в дальнейшем сжатием Земли пренебрегаем.
154
север, ось £ — вертикально вверх. Определить проекции на оси £, ц, £ угловой скорости ' трехгранника О£т]£, если проекции скорости его начала (точки О) относительно Земли равны v§ = vE, vn — vN, t)j = O; угловая скорость вращения Земли равна U; радиус Земли R.
Ответ: coj = —ф = — -
п = (U + Я) cos ф = |
|
c o s Ф"» |
|
|
<ос = (С/+ й.) sin ф = |
(U + ^ j j j ) |
sin Ф . |
|
|
20.11. Трехгранник Дарбу Oxyz |
на поверхности |
Земли ориенти- |
||
рован не географически, как это было сделано |
в предыдущей задаче, |
|||
а по траектории основания трехгранника относительно |
Земли: ось х |
|||
направляется горизонтально по скорости v вершины |
О |
(центр тяже- |
сти самолета, корабля) трехгранника относительно Земли, ось у направляется горизонтально влево от оси х, а ось z — вертикально вверх.
Определить проекции угловой скорости трехгранника |
Oxyz, |
если |
|
скорость точки О равна v, а ее курс |
определяется углом i|) |
(угол |
|
между направлением на север и |
относительной |
скоростью |
точки О). |
|
|
Ответ: |
<ля = Ucossфcossif;; <о^==£/cos9sini|) + -D; |
|
|
—•. |
|
Здесь R, U, ф и X имеют значения, введенные в задачах |
20.9 и 20.10, |
|
а р — радиус |
геодезической кривизны траектории (р > |
0 при ф 0 |
и р < 0 при ф > 0). |
|
л(зенит)
11 |
1у(себер) |
//роещия/праешории |
|
f/а горизонтамни/с |
ftucosa + и£ |
^плоскость Оху |
|
К задаче 20.11. |
К задаче 20.12. |
•*. 20.12. Трехгранник Дарбу Ох°_у°г° на поверхности Земли ориентирован следующим образом: ось х° направляется по абсолютной скорости V точки О (предполагается, что она движется по поверхности Земли), горизонтальная ось у0 направляется влево от оси х°, ось г° вертикальна.
155
Определить |
проекции |
угловой |
скорости |
трехгранника |
Ox°y°z°> |
|||||||||
если |
составляющие |
скорости |
точки |
О относительно |
Земли равны . |
|||||||||
vE и vN. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
(в*.—О, а у = - £ - , |
u)2o = |
(f/-b^)sin<p + ^ |
где |
Н, U, |
|||||||||
tp и |
А имеют |
значения, |
введенные |
в |
задачах 20.9 |
и |
20.10( |
|||||||
|
|
|
|
V"N И tgo = - |
|
|
|
|
|
|
|
|||
20.13. |
Гироскоп |
направления |
установлен |
в кардановом |
подвесе. |
|||||||||
Система координат x1y1z1 |
связана |
с |
внешней рамкой (ось вращения |
|||||||||||
ее вертикальна), |
система xyz |
скреплена |
с |
внутренней |
рамкой (ось х |
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
вращения |
ее |
горизонтальна). Ось z |
||||||
|
|
|
|
|
|
внутренней рамки является одновре- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
менно |
осью |
собственного |
вращения |
|||||
|
|
|
|
|
|
гироскопа. |
|
|
|
|
К задаче 20.13.
Определить: 1) ориентацию оси z вращения гироскопа относительно
географически |
ориентированных |
осей |
\if, (см. задачу 20.10), если |
||
поворот внешней рамки |
(оси уг) |
отсчитывается по часовой стрелке |
|||
ог плоскости |
меридиана |
(плоскость |
rfj) и |
определяется углом а, |
|
а подъем оси z над горизонтом |
определяется |
углом Р; |
2) проекции на оси х, у, z угловой скорости вращения трехгранника xyz, предполагая, что точка О подвеса гироскопа неподвижна относительно Земли.
Ответ: 1) |
С |
2 |
Sin a COS P COS a COS P sin p |
-2) w* = p'—£/ cos<p sin а,
ц>У = а cos j3-f- U (cos <p cos а sin j3—sin if cos P), юг = d sin p+ [/ (cos <p cosa cds p-f sin tpsin j3),
где U—угловая скорость вращения Земли, <р — широта места. 20.14. В условиях предыдущей задачи определить проекции уг-
ловой скорости вращения трехгранника xyz, если северная и восточ-
ная |
составляющие скорости точки подвеса соответственно равны |
1>N и |
VE- |
156
Ответ; |
© * = В — (U + ' - Б — - — ) cos шsin a |
^- cos a, |
||||
|
х |
^ |
\ ' |
#СОвф / Т |
# |
|
<o y =acosP + (£/ + |
7r-^—) (cos<pcosa sin В —sincpcosB)—^ sin a sin p, |
|||||
J |
\ |
|
i\ COS ф/ |
|
|
/\ |
ю*= a sin В-ы t/ -\-R |
E—) |
(cosфcosa cos В-f-sin<psin B), |
||||
где R — радиус |
Земли. |
|
|
|
||
20.15 |
(604). |
Движение |
тела |
вокруг неподвижной точки задано |
углами Эйлера:
Определить координаты точки, вычерчивающей годограф угловой скорости, угловую скорость и угловое ускорение тела относительно неподвижных осей х, у, z.
Ответ: х = <ях= 2 ]/"3 cos 2t, у = а>у ==— 2 "|/"з sin 2#, г = сог = 0; о)= 2 "^3 сек-1; 8= 4
20.16 (605). Найти подвижный и неподвижный аксоиды внешнего колеса вагона, катящегося по горизонтальному пути, средний радиус кривизны которого равен 5 м, радиус колеса вагона 0,25 м, ширина колеи 0,80 м<
|
|
|
|
|
|
|
К задаче 20.16. |
|
|
|
|
|
||
П р и м е ч а н и е . |
Колесо |
вращается вместе с вагоном вокруг |
вертикаль- |
|||||||||||
ной оси Ог, проходящей через центр закругления |
пути, |
и относительно |
||||||||||||
вагона |
вокруг |
оси АВ, |
т. е. вращается вокруг неподвижной точки |
О. |
|
|||||||||
Ответ: |
|
Неподвижный |
аксоид — конус, ось |
которого |
совпадает |
|||||||||
с осью Oz и с углом |
при |
вершине |
a = 2 arctg 21,6= 174°42'. |
|||||||||||
Подвижный |
аксоид — конус |
с |
осью |
АВ |
и |
углом |
при вершине |
|||||||
Р = 2 arctg 0,0463= 5° 18'. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
20.17 |
(610). |
Движение |
тела |
вокруг |
неподвижной |
точки |
задано |
|||||||
при |
помощи |
углов |
Эйлера |
следующими |
уравнениями: |
<p = nt, |
||||||||
ij) = я/2 -{- ant, 6= я/3. |
Определить |
проекции |
угловой |
скорости и |
||||||||||
углового |
ускорения |
тела |
на неподвижные |
оси, если а и п —постоян- |
157
ные величины. Указать также то значение параметра а, при котором неподвижным аксоидом тела будет плоскость Оху.
|
Ответ: |
и>х = |
— j - cos ant, (uy==-—smant, |
ч>г = n I a -f- -^ |
|
|||||||||||
|
|
e^ = — д я |
/ |
sin a?rf, гу = ап |
cos ant, ^ = 0; a = — -s-. |
|||||||||||
|
20.18. |
УГЛЫ |
Эйлера, |
определяющие положение тела, |
изменяются |
|||||||||||
по |
закону |
(регулярная |
прецессия) |
ф= |
ф0-j~и^, |
6= |
9О, <р = фо-\-щ(, |
|||||||||
где |
фо> 6Oi |
?о— начальные значения |
углов, |
а «f |
и «а — постоянные |
|||||||||||
числа, равные соответствующим угловым скоростям. Определить |
||||||||||||||||
угловую скорость |
со тела, |
неподвижный |
и подвижный |
аксоиды. |
|
|
||||||||||
|
Ответ. |
1) <о = Yn\ -f- n\-j~2щщ cos60; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2) |
неподвижный |
аксоид — круговой |
конус |
Е44" ^ |
— |
||||||||
|
П% Sin8 |
60 |
а |
п |
|
|
v |
|
|
|
|
n |
• И» Sin 8n |
|||
— 7—^-н—г—Г2^" |
: =0 |
с |
осью |
С и углом |
раствора |
2arcsin-s |
|
-; |
||||||||
|
(геа cos80 + |
|
|
|
rtt)2 |
|
|
Jру |
v |
F |
у |
\усо |
|
|||
|
L |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s i n |
|
|
|
"E—г3)—^2подвижный= 0 с осьюаксоидг и —угломкруговойраствораконус2 arcsin "'^ |
^ " |
COS Bo - ) -« 2 ) S |
} |
Y |
V |
m
ГЛАВА VII
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
§21. Уравнения движений точки
21.1.Определить уравнение прямолинейного движения точки, складывающегося из двух гармонических колебаний:
|
Хх= 2 cos(nt -f- я/2), х2 |
= 3cos(я^+ я). |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
Ответ: |
JtT= l/l3cos(rc£-J-a), |
где a = arctg у = 33°40f. |
||||
|
21.2. Барабан |
записывающего |
устройства |
вращается равномерно |
|||
со |
скоростью |
ю0 |
сек'1. |
Радиус |
барабана г. |
Самописец соединен |
|
с |
деталью, движущейся |
по вертикали |
по закону |
у =i a_sin coj/.
Найти уравнение кривой, которую запишет перо на бумажной ленте.
Ответ: у-
К задаче 21.2 |
К задаче 21.3. |
21.3. При вращении поворотного крана вокруг осиОхО2 с постоянной угловой скоростью сох груз А поднимается вверх посредством каната, навернутого на барабан В. Барабан В радиуса г вращается с постоянной угловой скоростью о)2. Определить абсолютную траекторию груза, если вылет крана равен d.
159
Ответ: Винтовая линия, уравнение которой
Ш2 Г " |
0) 2 Г |
ось х проходит через ось ОгО2 и начальное положение груза, ось г направлена вверх по оси вращения крана.
21.4. При совмещении работы механизмов подьема груза и перемещения крана груз А перемещается в горизонтальном и вертикальном направлениях. Барабан В радиуса г = 50 см, на который навит канат, поддерживающий груз А, вращается при пуске в ход с угловой скоростью ш= 2я сек"1. Кран перемещается в горизонтальном направлении с постоянной скоростью v = 0,5 м/сек. Определить
абсолютную траекторию груза, если начальные координаты груза
х0 — 10 м, уо= 6 м.
Ответ: у = •*~*°а
|
|
|
К задаче 21 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
21.5. Стрела |
АВ |
поворотного крана |
вращается |
вокруг |
оси Oi02 |
|||||||
с |
постоянной угловой |
|
скоростью о. По горизонтальной стреле от А |
||||||||||
к В |
движется тележка с постоянной скоростью v0. |
|
|
|
|
||||||||
|
Определить |
абсолютную траекторию тележки, если |
в |
начальный |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
момент |
тележка |
находилась |
на |
||||
|
|
|
|
|
|
оси ОуО%. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
Траектория — архи- |
||||||
|
|
|
|
|
|
медова |
спираль |
|
|
|
|
||
9L |
\ |
|
|
7" |
|
|
|
|
|
|
|
||
J__. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
К |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
\ |
|
|
где |
г — расстояние |
тележки |
о |
|||||||
|
|
оси |
вращения, <р — угол поворот |
||||||||||
|
|
|
К задача 21.6. |
крана вокруг оси ОхО2. |
|
||||||||
|
|
|
21.6 (417). Лента прибора, слу- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
жащего для записи колебательных |
|||||||
движений, |
движется |
|
по направлению |
Ох |
со |
скоростью |
2 м/сек. |
||||||
Колеблющееся |
вдоль |
|
оси Оу тело вычерчивает на ленте |
синусоиду, |
|||||||||
наибольшая |
ордината |
|
которой АВ = 2,5 см, а |
длина |
О^С = 8 |
см. |
160