ФБТ БИ 1курс / мищерский 1975
.pdf
|
Ответ: |
Траектория —парабола у —tg а. • х —9 2 g |
2• -лга; высота |
|
tf |
^ a |
; L |
a ; |
|
10.16. В условиях предыдущей задачи определить, при каком угле бррсания а дальность полета L будет максимальной. Найти соответствующие высоту и время полета.
Ответ: а = 45°; Lr a a x = | ; Я = | ; Г = ] / 2 - | .
10.17. В условиях задачи 10.15 определить угол бросания а, при котором снаряд попадет в точку А с координатами х и у.
Ответ:tga =Pi ± ^ ~ f ^ ~ ^ -
10.18. Определить параболу безопасности (все точки, лежащие вне этой параболы, не могут быть достигнуты снарядом при данной начальной скорости г»0 и любом угле бросания а).
Ответ: y = |
fg-§^x\ |
|
|
||
10.19. Точка движется по винтовой линии |
|
||||
|
|
|
х = a cos kt, y = a sin kt, z =s v£. |
|
|
Определить |
уравнения движения точки в цилиндрических координатах. |
||||
Ответ: |
г = а, y = kt, z — xt. |
|
|
||
10.20. Даны уравнения движения точки: |
|
||||
|
|
|
x = 2acos2 y, |
y^asmkt, |
|
где а |
и k — положительные постоянные. Определить |
траекторию и |
|||
закон |
движения |
точки по траектории, отсчитывая расстояние от на- |
|||
чального положения точки. |
|
|
|||
Ответ: |
Окружность (х — а)2 -{-у2 = a2; s = akt. |
|
|||
10.21. В условиях предыдущей задачи определить |
уравнения дви- |
||||
жения точки в полярных координатах. |
|
|
|||
Ответ: |
г — 2а cosу ; ф= -„-. |
|
|
10.22. По заданным уравнениям движения точки в декартовых координатах
найти ее траекторию и уравнения движения в сферических коорди-
натах.
Ответ: Линия пересечения сферы х2 -f-_y2 -f- z2 —R2 и цилиндра
( |
р \2 |
ра |
|
х |
J -j-j/2 — _ , Уравнения движения в сферических координатах: |
||
,r = R, ф= у , ®= Y- |
|
||
|
10.23. |
Точка участвует одновременно в двух взаимно перпенди- |
|
кулярных |
затухающих колебаниях, уравнения |
которых имеют вид |
|
|
|
х = Ae~ht cos(kt + е), у = Ae~ht |
sin {kt -\- г), |
101
где Л^>0, h^>0, |
k~^>0 и s — некоторые |
постоянные. |
Определить |
||||||||||||||
уравнения движения в полярных координатах |
и |
найти |
траекторию |
||||||||||||||
точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
r = Ae~M, |
<p = |
kt-\-e; |
траектория — логарифмическая |
|||||||||||||
|
_ - (<р - е) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
спираль г = Ае |
* |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• . |
|||
|
|
|
|
§ 11. Скорость |
точки |
|
|
|
|
|
|
||||||
11.1 (325). Точка совершает |
гармонические |
колебания по закону |
|||||||||||||||
x — asinkt. |
Определить |
амплитуду |
а и круговую |
частоту k |
колеба- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ний, |
если |
при х = Х\ скорость |
v = Vi, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
а при х = дга |
скорость v = г/4. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: а = |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
11.2 (327). Длина линейки эллипс'о- |
||||||||||
|
|
|
|
|
-х |
графа АВ = 40 см, |
длина |
кривошипа |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ОС = 20 |
см, |
АС = СВ. |
Кривошип |
||||||||
к задаче П.2. |
|
|
равномерно |
вращается |
вокруг |
|
оси О |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
с угловой |
|
скоростью |
ш. Найти |
урав- |
|||||||
нения траектории |
и годографа |
скорости |
точки М линейки, лежащей |
||||||||||||||
на расстоянии AM = 1 0 см от конца А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
х^ |
|
v^ |
|
jc? |
|
л1^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
ГШП + |
Т Ж = ^ ' 900(ла |
' |
100w2 |
|
• |
|
|
|
|
|
|
|||||
11.3 (328). Точка |
описывает |
|
фигуру |
Лиссажу |
согласно |
уравне- |
|||||||||||
ниям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(х, у — в сантиметрах, |
|
t — в |
секундах). |
|
Определить |
величину и на- |
|||||||||||
правление скорости точки, когда она находится на оси Оу. |
|
|
|||||||||||||||
Ответ: |
1) |
v=2 |
см/сек; |
cos(г», х) = |
— 1 . 2) |
г> = 2 см/сек; |
|||||||||||
cos(i>, х)= |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.4 (329). Точка движется согласно |
|
уравнениям |
|
|
|
|
|||||||||||
{t — в секундах, |
х, у — в сантиметрах). |
|
Определить |
величину |
и на- |
||||||||||||
правление |
скорости точки при £= |
0; t=\ |
|
сек; t=2 |
сек. |
|
|
||||||||||
Ответ: |
1) Ъъ — ^ъ |
см/сек; cos(vo, x) = -^; cos(vo,у) = |
~. |
||||||||||||||
|
2 ) ^ = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3) vi |
= Y'K |
см/сек; cos(t>a, х) = |
— -=-; |
cos(t>2, y) = — = - , |
11.5 (330). Кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью ш. Найти скорость середины М шатуна кривошипно-шатун-
102
ного |
механизма и скорость ползуна В в зависимости от времени, |
если |
ОА = АВ = а (см. чертеж к задаче 10.12). |
Ответ: I) vM = ~ ш У 8 sin2 wt -)- 1. 2) vB = 2awsino>tt
11.6 (363). Движение точки задано уравнениями
# 9
причем ось Ох горизонтальна, ось Оу направлена по вертикали вверх,
г»0, g и «о<С"о |
величины постоянные. Найти: 1) траекторию точки, |
-2) координаты наивысшего ее положения, 3) проекции скорости на координатные оси в тот момент, когда точка находится на оси Ох.
Ответ: 1) Парабола у = х tg aD — 2 p g ^ g х3 .
£\ X ' п— S i n «iOtQj V .I ^r— Sill OLn .
|
3) u*= t»0 cos a9; |
vy |
= z t г>0 sin a0, |
моменту |
времени, а |
||||
причем верхний знак |
соответствует начальному |
||||||||
нижний — момеяту |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
2w0 sin a0 |
|
|
|
|
11.7 (364). Движение |
точки |
задано теми же |
уравнениями, что и |
||||||
в предыдущей задаче, причем i> |
0 = 20 м/сек, a0 = |
60°, g = 9 , 8 l м/сек*. |
|||||||
Найти, с какой скоростью |
Vi должна |
выйти из начала координат в |
|||||||
момент £= |
0 вторая |
точка |
для того, чтобы, двигаясь |
равномерно |
|||||
по оси Ох, |
она встретилась |
с первой |
точкой, и определить расстоя- |
||||||
ние Xi до места встречи. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: |
t»i = 10 м/сек; Xi = |
35,3 |
м. |
|
|
|
|||
11.8 (365). Определить высоты Нъ |
Л2 и /г3 над поверхностью |
воды |
|||||||
трех пунктов отвесного берега, |
если |
известно, что три пули, |
выпу- |
щенные одновременно в этих пунктах с горизонтальными скоростями 50, 75 и 100 м/сек, одновременно упали в воду, причем расстояние точки падения первой пули от берега равно 100 м; принять во
внимание только |
ускорение силы |
тяжести |
g = 9 , 8 1 м/сек*. Опреде- |
|||||||
лить также |
продолжительность |
Т |
полета |
пуль и их скорости vi, % |
||||||
и v3 в момент |
падения в воду. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: |
/г1 = |
/г2 = /г3= 19,62 |
м; |
Т = |
2 сек; |
1*1= |
53,71 |
м/сек, |
||
|
г»а = |
77,52 м/сек, |
f 3 |
= 101,95 м/сек. |
|
|
|
|||
11.9 (366). Из орудия, ось |
которого образует |
угол 30° |
с гори- |
|||||||
зонтом, выпущен |
снаряд со скоростью |
500 м/сек. Предполагая, что |
||||||||
снаряд имеет |
только ускорение силы |
тяжести g = 9 , 8 l |
м/сек*, найти |
годограф скорости снаряда и скорость точки, вычерчивающей годо-
^граф. |
|
|
|
Ответ: Годограф — вертикальная |
пряма», отстоящая |
от |
начала |
•координат на 432 м; -Dj= 9,81 м/сек1. |
|
|
|
11.10 (332). Определить уравнения движения и траекторию |
точки |
||
колеса электровоза радиуса R=l |
м, лежащей на |
расстоянии |
103
а = 0,5 |
м от |
оси, |
если |
колесо |
катится без скольжения по гори- |
|||||||||||||||
зонтальному |
прямолинейному участку |
пути; |
|
скорость |
оси |
колеса |
||||||||||||||
г»= 1 0 |
м/сек. Ось. Ох |
совпадает |
с рельсом, |
ось Оу— |
с |
радиусом |
||||||||||||||
точки |
при |
ее начальном низшем |
положении. Определить также ско- |
|||||||||||||||||
рость |
этой точки вте |
моменты |
времени, когда |
диаметр |
|
колеса, на |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
котором она |
|
расположена, |
займет |
горизонталь- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
ное |
и вертикальное |
положения. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
Укороченная циклоида |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
х=\Ы—0,5sin |
|
10/, |
|
у = 1— 0,5 cos 10/. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Скорость: |
1) 11,18 |
м/сек; |
2) 5 |
м/сек; |
||||||||||
|
|
|
|
|
15 м/сек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
V/////V///////////. |
|
(333). |
Скорость |
электровоза |
vo= |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
11.11 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
= 72 |
км/час; |
радиус колеса его |
R=l |
|
м; колесо |
||||||||||
|
|
|
|
|
катится |
по |
прямолинейному |
рельсу |
без |
|
сколь- |
|||||||||
|
|
|
|
|
жения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1) Определить |
|
величину |
и направление |
ско- |
||||||||||
|
|
|
|
|
рости v точки |
М на ободе колеса втот |
момент, |
|||||||||||||
к аадачё~и.п. |
когда |
радиус |
точки |
М составляет |
с направлением |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
скорости va |
уголтс/2-f-a- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2) |
Построить годограф |
скорости |
точки |
М и определить |
скорость |
||||||||||||||
г^ |
точки, вычерчивающей |
годограф. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Ответ: |
|
1) Скорость |
v — 40 cos ^ м/сек |
|
и направлена |
|
по |
пря- |
|||||||||||
мой |
МА. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Окружность |
p= 2t»0cosS, где |
9 =-9"' |
РаДиУса |
г — ^ о |
|||||||||||||
(см. чертеж); |
t i 1 = | ~ = 4 0 0 |
м/сек2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
11.12 (334). Определить уравнения движения и траекторию точки |
|||||||||||||||||||
М |
колеса |
вагона радиуса ft.= 0,5 |
м, отстоящей от оси на расстоянии |
|||||||||||||||||
а = 0,6 м и лежащей |
в начальный |
момент |
|
на |
0,1 |
мниже |
рельса, |
|||||||||||||
если |
вагон |
движется |
по прямолинейному |
|
пути |
со скоростью |
||||||||||||||
v = 1 0 |
м/сек. Найти также |
моменты |
времени, когда |
эта |
точка |
будет |
||||||||||||||
проходить |
свое нижнее и верхнее |
положения, и проекции ее скорости |
||||||||||||||||||
на |
оси Ох, |
Оу вэти моменты времени. Ось Ох |
совпадает |
с рельсом, |
||||||||||||||||
ось Оу проходит через начальное нижнее положение точки. |
|
|
||||||||||||||||||
|
Ответ: |
|
Удлиненная |
циклоида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
х = 10/—0,6 sin 20*; у = 0,5 - 0,6 cos 20£ |
|
|
|
|
|||||||||||||
при |
|
nk |
сек— нижнее |
положение |
точки, |
vx= |
— 2 м/сек, |
i/j, = 0; |
||||||||||||
t=TQ |
||||||||||||||||||||
при t=£(\-\-2k) |
сек —верхнее |
положение |
точки, |
г»л = 22 |
м/сек, |
|||||||||||||||
Vy= 0, где |
& = 0, |
1, 2, |
3,.., |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
11.13. Точка участвует одновременно вдвух взаимно перпендику- |
|||||||||||||||||||
лярных затухающих колебаниях согласно уравнениям |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
X = Ае'ш |
cos (kt + 8), |
у = Ae'ht |
|
sin (kt -\- e). |
|
|
|
104
Определить проекции скорости точки на оси |
декартовых и полярных |
|||||
координат и найти модуль скорости точки |
|
|||||
Ответ: 1) |
vx |
= |
— Аё~ы |
[h cos (kt + |
e)+ |
k sin (kt-\-e)], |
|
vy |
= |
— Ae'"' |
[h sin (A* -f |
e) — Acos (A* -f e)]; |
|
2) |
ty = |
—Л/»-* |
p = i4Ag-"; |
|
||
3) |
v=A |
Yh* -f |
А2 <ГЛ' = |
|
г. |
11.14. Какую кривую опишет корабль, идущий под постоянным курсовым углом а к географическому меридиану? Корабль приняв за точку, движущуюся по поверхности земного шара.
N К
f
К задаче 11 14.
Ответ: tg (— -J--|-) = tg (-£--|-^)ei*-*°>ct£a, где 9 — широта, а
>.— долгота текущего положения корабля (эта кривая называется локсодромией).
Указание . Воспользоваться сферическими координатами г, X иср.
11.15. Уравнения движения точки М в цилиндрической системе координат имеют вид (см. задачу 10.19)
|
|
|
г = з а, • <p = |
k t , |
z = vt. |
|
||||
Найти проекции скорости точки М на оси |
цилиндрической |
системы |
||||||||
координат, |
уравнения |
движения |
точки |
Мь |
описывающей |
годограф |
||||
скорости, и проекции скорости точки |
Mi. |
|
|
|||||||
Ответ: |
1) |
vr~Q, |
|
v9 = |
ak, |
|
vs = |
r, |
|
|
|
2) |
г, — ak, |
<pi= |
| |
+ |
kt> |
z* —r> |
|
||
|
3) |
vri = |
0, |
v9l=ak\ |
|
vZl=0. |
|
|
||
11.16. Точка М движется |
по окружности |
согласно уравнениям |
||||||||
|
|
|
|
o |
|
kt |
kt |
|
||
|
|
|
r |
2acos |
|
|
<p |
|
|
|
(r, <p — полярные координаты). Найти |
проекции скорости точки М на |
|||||||||
оси полярной системы координат, уравнения |
движения точки Mi, опи- |
|||||||||
сывающей |
годограф |
скорости, и проекции скорости точки |
yWj. |
105
Ответ: 1) vr— —aksin у, |
vv —ak cos у ; |
|
2) ri=ak, |
Ф! = у + «; |
|
3) vri = 0, |
4)<H = ak\ |
|
11.17. Точка |
движется по линии пересечения |
сферы |
и цилиндра |
|
|||||||||||||||||
согласно |
уравнениям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
г. |
|
kt |
. |
|
' kt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(г, <р, 9 —сферические координаты; |
см, задачу |
10.22). |
Найти |
модуль |
|
|||||||||||||||||
и проекции |
скорости точки на оси сферической |
системы |
координат. |
|
||||||||||||||||||
|
г, |
|
|
|
п |
Rk |
kt |
|
Rk |
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
||
|
Ответ: |
|
v |
r = 0 , |
v v=T C |
0 S |
Y t |
|
Vi==\' |
|
|
|
|
W |
= |
= |
F |
|||||
|
11.18 |
(335). Найти в полярных координатах |
(г, ср)уравнение кри- |
|
||||||||||||||||||
вой, которую опишет корабль, сохраняющий постоянный угол пеленга |
|
|||||||||||||||||||||
а |
на неподвижную |
точку (угол между направлением скорости инаправ- |
|
|||||||||||||||||||
лением на точку), если дано: а |
и rf_0=r0. |
|
|
Корабль принять за точку, |
|
|||||||||||||||||
движущуюся на плоскости, и за полюс |
взять |
произвольную |
непо- |
|
||||||||||||||||||
движную |
точку |
в этой плоскости. Исследовать |
частные |
случаи |
а= 0, |
|
||||||||||||||||
и/2 и те. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ответ: |
Логарифмическая |
спираль |
|
г = гое~ч>с1еа. |
При а=тс/2 |
|
|||||||||||||||
окружность |
г = г0; при а = 0 или а. = %прямая. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
§ |
12. Ускорение |
|
точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
12.1 |
(336). Поезд движется |
со скоростью 72 км/час, |
при тормо- |
|
|||||||||||||||||
жении |
он получает |
замедление, |
равное |
0,4 |
м[сек2. |
Найти, за |
какое |
|
||||||||||||||
время |
до прихода |
поезда на станцию и на каком от нее расстоянии |
|
|||||||||||||||||||
должно |
быть начато торможение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Ответ: |
50 сек; 500 м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
12.2 |
(337). Копровая баба, ударив |
сваю, движется |
затем |
вместе |
|
||||||||||||||||
с ней в |
течение 0,02 сек до |
остановки, |
|
причем |
свая |
углубляется |
|
|||||||||||||||
в |
землю |
на 6 |
см. Определить |
начальную |
скорость движения |
сваи, |
|
|||||||||||||||
считая |
его равнозамедленным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Ответ: |
6 м/сек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
12.3 |
(338). |
Водяные |
капли |
вытекают |
из отверстия |
вертикальной |
|
||||||||||||||
трубочки через |
0,1 сек одна после |
другой |
и |
падают |
с |
ускорением |
|
|||||||||||||||
9$1 см/сек2. Определить расстояние между |
первой и второй каплями |
|
||||||||||||||||||||
через |
1 сек после |
момента |
истечения первой капли. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Ответ: |
93,2 см. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
12.4 |
(339). Движение |
трамвая по прямолинейному пути в |
период |
|
|||||||||||||||||
разгона |
характеризуется |
тем, что проходимый |
трамваем |
путь пропор- |
|
|||||||||||||||||
ционален кубу |
времени; в течение |
первой |
минуты |
трамвай |
прошел |
|
||||||||||||||||
путь 90 м. Найти скорость |
и ускорение в моменты *= 0 и t = 5 сек. |
|
||||||||||||||||||||
Построить |
кривые |
расстояний, скоростей |
и ускорений. |
|
|
|
|
|
Ответ: г»в==0; дао=О; vk=-^M[MUH; ^ = 4 5 м[мин\
106
|
12.5 (341). Считая посадочную скорость самолета равной 400 км]час, |
|||||||||
определить |
замедление его |
при |
посадке |
на |
пути / = 1200 |
м, считая, |
||||
что |
замедление |
постоянно. |
|
|
|
|
|
|
||
|
Ответ: |
w = 5,15 м/сек2. |
|
|
|
|
|
|
||
|
12.6 (342). Копровая баба падает с высоты 2,5 м, а для ее под- |
|||||||||
нятия на |
|
ту же высоту требуется втрое |
больше |
времени, чем на |
||||||
падение. |
Сколько ударов |
она |
делает |
в |
минуту, |
если |
считать, |
|||
что свободное падение копровой бабы |
совершается |
с ускорением |
||||||||
9,81 |
м/сек2? |
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: |
21 |
удар. |
|
|
|
|
|
|
||
|
12.7 |
(344). |
Ползун движется по прямолинейной направляющей |
|||||||
с ускорением wx = — n2sm-^-t |
м/сек2. |
Найти уравнение |
движения |
ползуна, если его начальная скорость vOx — 2n м/сек, а начальное положение совпадает со средним положением ползуна, принятым за начало координат. Построить кривые расстояний, скоростей и ускорений.
Ответ: x = 4sm-^t м.
12.8 |
(343). |
Поезд, имея начальную скорость |
54 км/час, |
прошел |
||||||||||||||||
600 |
м |
в |
первые |
30 |
сек. |
Считая |
движение поезда равнопеременным, ^ |
|||||||||||||
определить |
скорость |
и ускорение поезда в конце 30-й секунды, |
||||||||||||||||||
если |
рассматриваемое |
движение |
поезда |
происходит |
на |
закруглении |
||||||||||||||
радиуса |
|
R— |
1 |
км. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: |
г)= 25 м/сек; w = |
0,708 |
м/сек2. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
12.9 (372). При отходе от |
станции |
скорость |
поезда |
|
возрастает |
|||||||||||||||
равномерно |
и |
достигает |
величины |
72 |
км/час |
через |
3 |
мин |
после |
|||||||||||
отхода; |
путь |
расположен, на закруглении |
радиуса |
800 |
м. |
Определить |
||||||||||||||
касательное, нормальное и полное ускорения поезда через |
2 |
мин |
||||||||||||||||||
после момента |
отхода |
от |
станции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
wt |
= -^ м/сек2; wn |
= |
-g- м/сек2; w — 0,25 |
м/сек2. |
|
|
|||||||||||||
12.10 (345). Поезд движется равнозамедленно |
по дуге |
окружно- |
||||||||||||||||||
сти |
радиуса |
/?= 800 м и проходит |
путь |
s = 800 |
м, имея |
начальную |
||||||||||||||
скорость |
|
г>0= 54 |
км/час |
и |
конечную |
г»= 18 км/час. |
Определить |
|||||||||||||
полное ускорение поезда в начале и в |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
конце |
дуги, |
а |
также |
время движения по |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
этой |
дуге. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: |
|
|
|
|
Щ — 0,308 |
м/сек2; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
w = 0,129 |
м/сек2; |
7 = 80 |
сек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
12.11 (346). Закругление трамвайного |
|
|
к задаче i2.ii. |
|
||||||||||||||||
пути |
состоит |
из двух |
дуг |
радиусов |
pj = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= 300 |
м |
и р2 |
= 400 |
м. Центральные углы а 1 = а |
2 = 60°. Построить |
|||||||||||||||
график |
нормального |
ускорения |
вагона, |
идущего |
|
по закруглению |
со |
|||||||||||||
скоростью |
г> = 36 |
км/час. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
12.12 |
(348). Точка движется по дуге окружности радиуса R= |
20 |
см. |
|||||||||||||||||
Закон ее |
движения по траектории: s = 20sinjt£ |
(t — в |
секундах, s — |
в сантиметрах). Найти величину и направление скорости, касательное,
107
нормальное |
и полное ускорения |
точки в момент t = b сек. Построить |
|||||||||||||||||||||
также график |
скорости, |
касательного |
|
и нормального ускорений. |
|||||||||||||||||||
ч |
Ответ: |
|
Скорость |
равна |
|
по величине |
|
20п |
см/сек и направлена |
||||||||||||||
в сторону, |
|
противоположную |
положительному |
|
направлению |
отсчета |
|||||||||||||||||
дуги s; wt |
— 0; w=wn |
= 20n,2 |
см/сек2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
12.13 |
(349). Прямолинейное движение точки происходит по закону |
|||||||||||||||||||||
s = -S- (at -f e~ai), |
где |
а |
и g — постоянные |
величины. Найти |
началь- |
||||||||||||||||||
ную скорость |
точки, |
а также |
определить |
|
ее |
ускорение |
в функции |
||||||||||||||||
от |
скорости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ответ: |
|
vo |
= 0; w-z=g—av. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
12.14 |
(350). Движение точки |
задано уравнениями |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
лт— 10cos2ftl r , |
|
j> = 10sin 2n-=- |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
(х, |
у — в |
сантиметрах, |
t — в |
секундах). |
Найти |
траекторию |
точки, |
||||||||||||||||
величину |
и направление |
скорости, |
|
а |
|
также |
величину и направление |
||||||||||||||||
ускорения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ответ: |
|
Окружность |
радиуса |
10 см; |
скорость |
г> = 4я см/сек и |
||||||||||||||||
направлена |
|
по касательной в |
сторону |
|
перехода |
от |
оси Ох |
к оси О у |
|||||||||||||||
поворотом на 90°; ускорение w= |
1,6л2 |
см/сек2 |
и направлено к центру. |
||||||||||||||||||||
|
12.15 (355). Уравнения движения |
|
пальца кривошипа дизеля в пе- |
||||||||||||||||||||
риод пуска |
имеют вид |
х — 75 cos it2, |
у = 75 sin it2 |
(х, |
у |
— в санти- |
|||||||||||||||||
метрах, t — в |
секундах). |
Найти |
скорость, |
касательное и |
нормальное |
||||||||||||||||||
ускорения |
пальца. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Ответ: |
|
v = 6O0t см/сек; |
wt |
= 600 см/сек2; wn |
= 4800t2 |
см[сек\ |
||||||||||||||||
|
12.16 (352). Движение точки задано уравнениями |
|
|
|
|||||||||||||||||||
где |
а и k — заданные |
постоянные величины. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Найти |
|
уравнение |
траектории, |
|
скорость |
и ускорение |
точки как |
|||||||||||||||
функции |
радиуса-вектора |
г = |
|
|
У ^ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Ответ: |
|
Г |
у |
|
2 |
2 |
22 |
|
|
2 |
; |
у |
|
w = |
k2r. |
|
|
|
||||
|
|
Гипербола |
х |
—_у |
= 4а |
|
u = £r; |
|
|
|
|||||||||||||
|
12.17 |
(356). Найти |
ускорение |
|
и |
|
радиус |
кривизны |
|
траектория |
|||||||||||||
точки в |
момент |
^ = 1 |
сек, если |
уравнения движения точки имеют вид |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
х = |
4 sin ^ |
t> |
|
У — 3 sin у с |
|
|
|
|
|
{t — в секундах, х, у — в сантиметрах).
Ответ: W = 1 , 2 5 J I 2 см/сек2; р = оэ.
12.18 (357). Найти радиус кривизны при х=у = 0 траектории точки, описывающей фигуру Лиссажу согласно уравнениям
х = — a sin 2(ot, у — — а sin со£.
Ответ: р= оо.
12.19 (358). Найти величину и направление ускорения, а также радиус кривизны траектории точки колеса, катящегося без скольжения по горизонтальной оси Ох, если точка описывает циклоиду
108
согласно уравнениям
(t — в секундах, х, у— в метрах). Определить также значение радиуса кривизны р при ^= 0.
Ответ: Ускорениете>= 400 м/сек* и направлено по МС к центру С катящегося круга; р = 2МА; ро= 0.
К задаче 12.19. |
К задаче 12.20. |
12.20. Найти траекторию точки М шатуна кривошипно-шатунного механизма, если г = / = 6 0 см, МВ = -^1, <р = 4т^ (t — в секундах),
а также определить скорость, ускорение и радиус кривизны траектории точки в момент, когда ср= О.
Ответ: |
Эллипс . „ 0 8 ~|~^j8 ==1> •У=80Л см/сек; |
|
||||||||
о>= 1600л2 см/сек*; р= 4 см. |
|
|
|
|
||||||
12.21. |
На проволочной |
окружности |
радиуса |
|
||||||
10 см |
надето |
колечко М; |
через |
него |
проходит |
|
||||
стержень |
ОА, |
который |
равномерно |
|
вращается |
задаче 12.21. |
||||
вокруг |
точки О, лежащей |
на той же окружности; |
||||||||
|
||||||||||
угловая |
скорость стержня |
такова, |
что он поворачивается на прямой |
|||||||
угол в 5 сек. Определить |
скорость v |
и ускорение w колечка. |
||||||||
Ответ: |
v = |
2тг см/'сек; w = 0,4п:2 |
смjсек1. |
|
||||||
12.22 (367). |
Движение |
снаряда |
задано уравнениями |
|
где Vo и a0 — постоянные величины. Найти радиус кривизны траектории при ( = 0 и в момент падения на землю.
Ответ: р= -
12.23 (368). Снаряд движется в вертикальной плоскости согласно
уравнениям |
х = dQOt, у = 400£ — Ы* (t — в секундах, х, у — в мет- |
||
рах). Найти: |
1) скорость и ускорение в начальный момент, 2) высоту |
||
и дальность |
обстрела, 3) радиус |
кривизны траектории |
в начальной |
и в наивысшей точке. |
|
|
|
Ответ: |
vo = 500 м/сек; w$= |
10 м/сек%, ft = 8 KM; |
s = 24 км; |
рв=41,67 км; р= 9 км, |
|
|
109
12.24 (370). Из орудия береговой артиллерии с высоты Л= 30 м |
||
над уровнем моря |
произведен |
выстрел под углом ао = 45° к гори- |
зонту с начальной |
скоростью |
снаряда v<s== 1000 м/сек. Определить, |
|
|
на каком расстоянии от орудия снаряд |
|
попадет в цель, находящуюся на |
|
|
уровне моря. Сопротивлением воздуха |
|
|
пренебречь. |
Ответ: 102 км.
12.25 (371). Найти касательное и нормальное ускорения точки, движение которой выражается уравнениями
|
|
|
X=at, у=Щ — %-. |
К задаче 12.24. |
|
|
^ |
Ответ: wt = — |
~ |
; wn |
= ~, где v—скорость точки. |
12.26 (373). Точка движется по винтовой линии согласно уравне- |
|||
ниям j*r=2cos4^ y = |
2sin4t, |
z = |
2t, причем за единицу длины взят |
иетр. Определить радиус кривизны р траектории.
Ответ: p= 2-g- м.
12.27 (374). Движение точки задано в полярных координатах уравнениями г = аеы и ср= ££, где а и k — заданные постоянные величины. Найти уравнение траектории, скорость, ускорение и радиус кривизны траектории точки как функции ее радиуса-вектора г.
Ответ: |
r = aef |
— логарифмическая спираль; v = |
k ^ |
|||
12.28. Движение точки задано |
уравнениями |
|
||||
|
|
|
x=2t, |
y = f |
|
|
(t — в |
секундах, х |
и у — в сантиметрах). |
Определить |
величины и |
||
направления |
скорости и ускорения точки в момент времени £ = 1 сек. |
|||||
Ответ: v=2V~2 |
см/сек; ВУ—2 см/сек*; (гГх)=45°, (щх) = 90°. |
|||||
12.29. Построить |
траекторию движения |
точки, годограф скорости |
||||
и определить радиус кривизны траектории в начальный |
момент, если |
|||||
точка |
движется согласно уравнениям |
|
|
|||
|
|
|
х — М, |
y~t* |
|
|
(t—в |
секундах, х и у — в сантиметрах). |
|
|
|||
Ответ: |
Уравнение траектории у = ^—кубическая парабола;годо- |
граф скорости — прямая, параллельная оси vy; p0 = oo (начальная точка
траектории — точка перегиба).
12.30. Кривошип ОуС длиной а/2 вращается с постоянной угловой скоростью ш вокруг оси О\. В точке С с кривошипом шарнирно
.связана линейка АВ, проходящая все время через качающуюся муфту О, находящуюся на расстоянии а/2 от оси вращения Оь
110