Разложение в ряд Фурье, если функция задана графически

В этом случае определенный интеграл заменяют суммой конечного числа слагаемых.

С этой целью кривую разбивают на n равных интервалов и подсчитывают коэффициенты Фурье по приближённым формулам:

;

;

,

где – номер интервала.

Разложение в ряд Фурье, если функция существует в виде разности потенциалов в электрической цепи

Коэффициенты разложения иопределяют приборы –гармонические анализаторы путем подачи исследуемого несинусоидального напряжения на зажимы прибора.

В большинстве практических случаев пользуются разложениями, взятыми из справочников, учебников, монографий.

Свойства периодических несинусоидальных функций, обладающих симметрией

Еще до разложения по наличию того или иного вида симметрии можно предсказать наличие или отсутствие того или иного вида гармоник

- кривая симметрична относительно оси ординат (симметрия I-го рода):

При разложении в ряд Фурье отсутствуют синусные составляющие гармоник ().

- кривая симметрична относительно начала координат (симметрия II-го рода):

При разложении в ряд Фурье отсутствуют постоянная составляющая и косинусные составляющие.

- кривая симметрична относительно оси абсцисс:

При разложении в ряд Фурье отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники.

Пример разложения:

Симметрия относительно оси абсцисс и начала координат.

4.1.3. Расчет несинусоидальных режимов в мгновенных значениях

Для линейных цепей применим принцип наложения. Следовательно, действие несинусоидального источника напряжения на линейную цепь можно заменить действием группы источников, имеющих каждый напряжение, соответствующее разложению в ряд Фурье исходного несинусоидального напряжения.

Расчет режима в цепи производят для каждой из гармоник отдельно с помощью приемов, известных из 1-й части курса.

Для расчета тока каждой гармоники в отдельности целесообразно воспользоваться комплексным методом. Однако суммировать полученные комплексные токи для отдельных гармоник нельзя, так как они имеют разные частоты. Суммировать можно лишь мгновенные значения, выраженные как функции времени.

Суммируя найденные таким путем мгновенные токи, получаем исходный несинусоидальный ток в цепи.

4.1.4. Метод эквивалентных синусоид

Метод наложения позволяет рассчитать мгновенные значения несинусоидальных напряжений и токов в линейных электрических цепях.

Однако практические задачи расчета электрических цепей, выбора сечений проводников, расчета средних (активных) мощностей, оценивающих преобразованную и поглощенную приемниками электрическую энергию требуют оценивать несинусоидальный режим работы с помощью некоторых средних, интегральных величин u, i, e которые можно было бы измерить с помощью обычных электрических приборов – амперметров, вольтметров электромагнитной, электродинамической и тепловой систем, которые, как известно, измеряют действующие значения u, i, e .

По определению

–действующее или среднеквадратичное значение,

,

тогда .

После преобразования и интегрирования получим:

.

Аналогично

; .

Действующее значение периодического несинусоидального тока (напряжения, ЭДС) равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и действующих значений всех гармоник.

Таким образом, из расчета мгновенных значений u, i, e можно рассчитать действующие значения, измеряемые приборами и являющиеся определяющими для решения технико-экономических задач разработки и создания схем электроснабжения и различных электроустановок.

Активная мощность, как это принято, есть среднее значение мгновенной мощности за период:

.

После преобразований и интегрирования получим:

.

Т.е., активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармоник.

Полная мощность:

,

где U и I – действующие значения несинусоидальных u и i.

Коэффициент мощности:

.

Используя полученные значения U, I, P, S при анализе несинусоидальных режимов:

;

;

;

,

применяют метод эквивалентных синусоид.

Согласно этому методу реально существующие в цепи несинусоидальные токи и напряжения при расчете заменяются на синусоидальные токи и напряжения, действующие значения которых равны действующим значениям несинусоидальных токов и напряжений.

Эти синусоидальные токи и напряжения называются эквивалентными.

Это позволяет использовать для анализа векторные диаграммы и комплексные числа.