- •Кафедра электротехники и электрических машин
- •4.1. Периодические несинусоидальные сигналы
- •4.1.1. Основные понятия Причины возникновения несинусоидальных режимов
- •Вторичные источники:
- •4.1.2. Разложение в ряд Фурье
- •Разложение в ряд Фурье, если функция задана аналитически
- •Разложение в ряд Фурье, если функция задана графически
- •Разложение в ряд Фурье, если функция существует в виде разности потенциалов в электрической цепи
- •Свойства периодических несинусоидальных функций, обладающих симметрией
- •4.1.3. Расчет несинусоидальных режимов в мгновенных значениях
- •4.1.4. Метод эквивалентных синусоид
- •4.1.5. Высшие гармоники в однофазных цепях
- •4.1.6. Трехфазные цепи с несинусоидальными эдс, напряжениями и токами
- •В источниках (генераторах, трансформаторах)
- •В нагрузке
- •4.2. Спектральный (частотный) метод
- •4.2.1. Прямое и обратное преобразования Фурье
- •4.2.2. Частотный (спектральный) метод
В нагрузке
При соединении нагрузки "звездой":
1. При отсутствии нейтрального провода нагрузка находится под линейным напряжением, не содержащим гармоники кратные трем. А потому их нет в линейных токах и токах приемника. Соответственно, их нет и в фазных напряжениях приемника (хотя в разных напряжениях источника эти гармоники могут быть).
2. Напряжение смещения UNn (нейтральный провод отсутствует) в условиях несимметричной нагрузки может иметь все гармоники.
При симметричной нагрузке UNn состоит только из гармоник, кратных трем и может достигать опасных для жизни значений:
.
При синусоидальном напряжении UNn=0.
3. При наличии нейтрального провода и несимметричной нагрузке в линейных и нейтральном проводах текут токи всех гармоник.
При симметричной нагрузке в нейтральном проводе будет протекать ток третьей гармоники (а также 6-й, 9-й и т. д.)
.
Т.к. по методу двух узлов:
; ;.
По линейным проводам будет протекать ток третьей (6-й, 9-й) гармоники:
; ;и т. д.;
.
4.2. Спектральный (частотный) метод
4.2.1. Прямое и обратное преобразования Фурье
Формы сигналов, используемых в различных областях техники делятся на:
периодические сигналы геометрически правильной формы;
периодические сигналы произвольной формы: задаются графиками, осциллограммами;
непериодические сигналы произвольной формы.
Первые два типа сигналов представляются аналитически или графически в виде ряда Фурье.
Третий тип сигнала представляется в виде интеграла Фурье.
Ряд Фурье – тригонометрический ряд, представляющий собой изображение периодической функции суммой синусоид, амплитуды которых конечны, а аргументы кратны основной частоте.
Интеграл Фурье – тригонометрический ряд, представляющий апериодическую функцию суммой бесконечно большого числа синусоид, амплитуды которых бесконечно малы, а аргументы соседних синусоид отличаются на бесконечно малые значения.
Преобразование
позволяет преобразовать функцию времени в функцию частоты–прямое преобразование Фурье, где –спектр функции (спектральная плотность, спектральная функция, спектральная характеристика).
Интеграл Фурье (обратное преобразование Фурье):
.
Представление функции времени в виде функции частоты в комплексной форме (интеграл Фурье) привело к необходимостиформально ввести отрицательную угловую частоту.
Пример-пояснение:
Сумма слагаемых подынтегральной функции интеграла Фурье при дает синусоидальные колебания частоты.
Сопоставим прямое преобразование Фурье
; ;
и прямое преобразование Лапласа
; ;.
Если учесть, что прии заменитьp на то формула для спектра функцииможет быть получена из выражения для изображения по Лапласу путем замены p на :
;
.
Обратное преобразование Лапласа:
.
;
.
Обратное преобразование Фурье:
;
.
Пример:
–экспоненциальный импульс, тогда
;
;
;
.
4.2.2. Частотный (спектральный) метод
Сущность метода заключается в представлении с помощью прямого преобразования Фурье непериодической функции в виде суммы бесконечного множества синусоидальных функций с бесконечно малыми амплитудами и с частотами, имеющими все возможные значения отдо(дискретный спектр функции). Затем, пользуясь хорошо известными приемами расчета токов в цепи при синусоидальных напряжениях, находим токи в цепи от действия отдельных составляющих напряжения, а затем, пользуясь методом наложения, получаем результирующий ток.
Спектральный (частотный) метод исследования широко применяют в радиотехнике (прохождение модулированных колебаний через усилители, фильтры и т. д.) импульсной технике, теории автоматического регулирования.
Алгоритм расчета такой же, как и в операторном методе.
1. Находим спектральную или частотную характеристику функции f(t) с помощью прямого преобразования Фурье (используя интеграл Фурье):
,
но при , т.е.
;
.
Сопоставляя преобразование Фурье и Лапласа
видим, что первое есть частный случай второго при (вещественная часть равна 0).
Поэтому можно получить частотные характеристики , воспользовавшись готовыми таблицами для, заменивна.
Пример:
;
.
Величина , характеризующая зависимость амплитуды от частоты – АЧХ.
Величина – зависимость начальной фазы от частоты – ФЧХ.
2. Зная комплексное сопротивление цепи , можно получить частотную характеристику тока в цепи:
, где .
3. Искомый переходный ток (переходная функция) находится с помощью обратного преобразования Фурье:
.
Частотный метод дает существенное преимущество перед операторным если есть возможность снять экспериментально зависимость входного комплексного сопротивления цепи от частоты, то есть получить экспериментально и.
Тогда, вычислив спектральную характеристику , легко определить и, а затем определитьодним из приближенных методов интегрирования.
При ненулевых начальных условиях можно воспользоваться (как и в операторном методе) методом наложения, рассчитав процесс при нулевых начальных условиях частотным методом и наложив на него процессы, которые получаются только от действия одних начальных напряжений на конденсаторах и токов в катушках.