1. Элементы комбинаторики, основные формулы, размещение из n различных элементов по k. Пестановки из n элементов.Сочетание из n различных элементов по k(с.22)

Число перестановок ( Комбинации из n элементов отличающиеся только порядком расположения )

P_n=n!

Пример: Сколько 3хзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая цифра входит в число только 1 раз?

Решение: Искомое число 3хзначных чисел P₃=3!=1*2*3=6

Число сочетаний ( Комбинации из n элементов по k отличающиеся хотя бы 1 элементом)

Пример: Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика содержащего 10 деталей?

Решение: Искомое число способов

Число размещений ( Комбинации из n элементов по k элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком)

Пример: Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета взятых по 2?

Решение: Искомое число сигналов

2.Основные понятия теории вероятности (события, достоверные, невозможные, случайные события, виды случайных событий - несовместные, совместные, равновозможные. Примеры)

Событие – множество исходов эксперимента.

Элементарное событие – исход эксперимента.

Случайное событие – событие, которое, при выполнении определенных условий может произойти или не произойти.

Достоверное событие - событие, которое, при выполнении определенных условий обязательно произойдёт.

Невозможное событие - событие, которое, при выполнении определенных условий заведомо не произойдет.

Виды случайных событий:

Несовместные – появление одного события исключает появление другого в том же испытании.

Совместные – появление одновременно 2х и более событий

Равновозможные – ни одно событие не является более возможным, чем другие.

Полная группа событий – в результате испытания появится хотя бы одно из событий

3.Классическое определение вероятности (св-ва вероятности, относительная частота события) (с.18)

Вероятность события A – отношение благоприятствующих этому событию исходов испытания к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Свойство 1 : Если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытаний благоприятствует событию. В этом случае m=n следовательно

Свойство 2:Вероятность невозможного события равно нулю.m=0,следовательно

Свойство 3 : Вероятность случайного события –положительное число,заключенное между 0 и 1.

Относительная частота события – Отношение числа испытаний , в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний.

4. Алгебра событий (сумма 2х событий, сумма нескольких событий,произведение 2х событий, произведение нескольких событий)

Сумма двух событий (A+B) – Событие, состоящее в появлении события A или B или обоих событий.

Сумма нескольких событий – Событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведение 2х или нескольких событий – Совместное появление событий

5.Теорема сложения вероятностей несовместных событий, следствие из теоремы, противоположное событие, сумма вероятностей противоположных событий)

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема 1 : Вероятность появления 1 из 2 несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

P(A+B)=P(A)+P(B)

Доказательство: n – общее число возможных исходов испытания.

– число исходов, благоприятствующих событию A

– число исходов, благоприятствующих событию B

Число исходов, благоприятствующих либо событию A, либо событию B равно , следовательно ; ;

Получается, P(A+B)=P(A)+P(B)

Следствие: Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

Доказательство: Рассмотрим 3 события : A, B, C. Т.к. рассматриваемые события попарно несовместны, то появление одного из 3 событий равносильно наступлению одного из 2 событий A+B и C, поэтому в силу указанной теоремы

P(A+B+C)=P[(A+B)+C]=P(A+B)+P(C)=P(A)+P(B)+P(C)

Пример: В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих, 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение:Появление цветного шара обозначает появление либо красного либо синего шара.

Вероятность появления красного шара (событие А)

Р(А)=10/30=1/3

Вероятность появления синего шара (событие В)

Р(В)=5/30=1/6

События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.

Искомая вероятность:

Р(А+В)=З(А)+Р(В)=1/3+1/6=1/2

Теорема 2 :Сумма вероятностей событий ,,… , образующих полную группу равна единице

Доказательство: Т.к. появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события =1,

Любые 2 события полной группы несовместноы, поэтому можно применить теорему сложения

Противоположные события 2 единственно возможных события образующих полную группу

Теорема: Сумма вероятностей противоположных событий = 1

Доказательство: противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу =1