11. Равномерное и биномиальное распределение вероятностей.

Биномиальное распределение вероятностей – распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли

Равномерное распределение вероятностей – если на интервале

12. Нормальное распределение непрерывной случайной величины. Нормальная кривая. Правила 3х сигм. Стр 134

Функция распределения –функция F(x), определяющая вероятность того,что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньшее х, т.е. F(X)=P(X<x)

Свойство 1 : значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1]

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины X-функция f(x) – первую производную от функции распределения F(x)

f(x)=F’(x)

Нормальное распределение - распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью:

a - математическое ожидание

– среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

Нормальная кривая ( кривая Гаусса ) – график плотности нормального распределения

Правило трёх сигм: Вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания на большую величину, чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю. Правило справедливо только для случайных величин, распределенных по нормальному закону.

Например, пусть имеется выборка наблюдений за ежедневными продажами в магазине. Значения их распределены по нормальному закону с математическим ожиданием 150000 руб. и среднеквадратическим отклонением 20000 руб. Тогда в соответствии с правилом 3-х сигм продажи ниже, чем 150 000 - 20 000 x 3 = 90 000, и выше, чем 150 000 + 20 000 х 3 = 210 000, являются практически невозможными событиями. Фактически это означает, что рассматривать данные объемы продаж как потенциально возможные не имеет смысла.

13. Математическое ожидание ( его св-ва).

Математическое ожидание дискретной случайной величины – сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

http://www.webmath.ru/web/prog22_1.php

Свойство 1 : Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной М(С)=С

Доказательство: Будем рассматривать постоянную С как дискретную случайную величину которая имеет одно возможное значение С и принимает его с вероятностью р=1. Следовательно, М(С)=С*1=С

Свойство 2 : Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания М(СХ)=СМ(Х)

Свойство 3 : Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий M(XY)=M(X)M(Y)

Свойство 4 : Математическое ожидание суммы 2 случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. М(X+Y)=M(X)+M(Y)

Теорема: Математическое ожидание М(Х) числа появлений события А в n испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: M(X)=np

14. Дисперсия случайной величины. Св-ва дисперсии, формула для вычисление дисперсии, среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия (рассеяние) случайной величины – математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины ее математического ожидания:

http://www.webmath.ru/web/prog23_1.php

Свойства дисперсии:

Свойство 1 : Дисперсия постоянной величины С равна 0 D(C)=0

Свойство 2 : Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат

Свойство 3 : Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсии этих величин D(X+Y)= D(X)+D(Y)

Свойство 4 : Дисперсия разности 2 независимых величин равна сумме их дисперсий

D(X-Y)= D(X)+D(Y)

Формула для вычисления дисперсии:

Теорема: Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания

Среднее квадратическое отклонение случайной величины X - квадратный корень из дисперсии:

ПРИМЕР: Случайная величина Х задана законом распределения

X	2	3	10
p	0.1	0.4	0.5

Найти среднее квадратическое отклонение

Найдём математическое ожидание Х: М(Х)=2*0.1+3*0.4+10*0.5=6,4

Найдём математическое ожидание :

Найдём дисперсию:

Искомое среднеквадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин