4.6. Метод парабол

Метод секущих можно рассматривать как замену функции f(x) интерполяционным многочленом первой степени, проведенным по узлам , . По трем последним итерациям можно построить интерполяционный многочлен второй степени, т.е. заменить график функции параболой. Запишем интерполяционный многочлен в форме Ньютона.

.

Приравнивая его нулю, получим квадратное уравнение

, (4.10)

где ,

, (4.11)

, .

Тот из двух корней квадратного уравнения (4.10), который меньше по модулю, определяет новое приближение .

Очевидно, для начала расчета надо задать три первых приближения . Целесообразно эти три значения выбирать не наугад, а после анализа функции и грубого определения положения корня. Когда будет установлено, что искомый корень находится на отрезке  , на котором функция монотонна и меняет знак, тогда в качестве точек можно выбрать концы и середину интервала . Каждую новую тройку параметров следует выбирать, исходя из этих же принципов. Это обеспечит высокую скорость сходимости процедуры поиска корня. Иначе, если метод парабол реализовать, как итерационный процесс, в котором каждое новое приближение x_n заменяет самое раннее x_n-1, то скорость сходимости такой процедуры не велика и оценивается [2] уравнением

,

справедливым для простого корня. Различие этих подходов проиллюстрировано на рис 4.7. В методе парабол «разболтка» счета вблизи корня сказывается еще сильней, чем в методе секущих, ибо в расчете участвуют вторые разности. Тем не менее, корни можно найти с хорошей точностью. Классический метод парабол имеет важное достоинство. Даже если все предыдущие приближения действительны, уравнение (4.10) может привести к комплексным числам, поэтому процесс может естественно сойтись к комплексному корню исходного уравнения. В методах простых итераций, касательных или секущих для сходимости к комплексному корню может потребоваться задание комплексного начального приближения (если f(x) вещественна при вещественном аргументе).

y

Рис.4.7. Метод парабол: парабола 1  рекомендуемый подход; парабола 2 

классический итерационный процесс

Метод парабол оказался исключительно эффективным для нахождения всех корней многочлена высокой степени. Если f(x)  алгебраический многочлен, то хотя сходимость метода при произвольном начальном приближении и не доказана, на практике итерации всегда сходятся к какому-нибудь корню, причем быстро. Для многочлена частное есть тоже многочлен, поэтому, последовательно удаляя найденные корни, можно найти все корни исходного многочлена.

4.7. Модифицированный метод парабол

Этот метод применим для случая действительных корней, положение каждого из которых известно с некоторой точностью. Требуется уточнить значение этого корня. Эта ситуация достаточно типична для инженерной практики потому, что часто корни уравнений определяют значения технологических параметров, значения которых являются действительными числами и принадлежат области допустимых, с технической точки зрения, значений.

Предлагаемый метод заключается в следующем. По значениям функций в трёх точках строим методом интерполяции Лагранжа функцию x = Ln (y). Находим x₄ = Ln (0) – первое приближение решения уравнения (4.1), так как значение x, для которого y = 0 является корнем. Выбираем из x₁, … , x₄ три точки, с наименьшим по модулю значением функции, для которых хотя бы два имеют значения функции с разными знаками. Процедуру повторяют до тех пор, пока y_i < . Данный метод прост в реализации, устойчив, быстро сходится к решению, но по сравнению с методом Ньютона требует больших затрат на вычисление полинома Лагранжа. Поэтому его целесообразно применять в случае, когда расчет исходной функции f(x) более трудоемкая процедура, чем расчет полинома Лагранжа.