-
Разработайте схемы алгоритмов интегрирования функций по методам трапеций и Симпсона.
-
В среде Delphi создайте приложение для решения задачи численного интегрирования функций, приведенных в таблице 4.1 (в соответствии со своим вариантом) методами трапеций и Симпсона. Предусмотрите в программе вычисление точного значения определенного интеграла через первообразную функцию (табл. 4.1).
Пример выполнения задания
Определите
интеграл
с n = 40
и шагом h,
который вычисляется по формуле
h = (b – a) / n,
используя квадратурные формулы: а)
трапеций; б) Симпсона; в) Ньютона-Лейбница.
Вид первообразной F(x) = 
.
Оцените погрешность всех результатов.
2.1. Создайте приложение в Delphi и разместите необходимые компоненты на форме (рис. 4.3). Для этого используйте компоненты: Label, Edit, Memo, RadioButton, Chart, Button. Введите исходные данные в Edit1 — Edit4, Label1-Label4.
Рисунок 4.3 – Вид формы решения интеграла в Delphi
2.2. В начале программы необходимо описать исходную функцию (f) и ее первообразную (perv):
function f(x:real):real;
begin
f := exp(3*ln(x))+1/sqr(x);
end;
function perv(x:extended):extended;
begin
perv := exp(4*ln(x))/4–1/x;
end;
2.3. Создайте процедуру-обработчик нажатием кнопки «Решить». Текст процедуры приведите к следующему виду:
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var a,b,h,s,x,s1:real;
j,n,i:integer;
begin
a := StrToFloat(Edit1.Text);
b := StrToFloat(Edit2.Text);
n := StrToint (Edit4.Text);
h := (b–a)/n;
Edit3.Text := FloatToStr(h);
Series1.Clear;
//Метод Ньютона-Лейбница
s1 := perv(b)–perv(a);
x := a;
if RadioButton1.Checked then begin
while x<=b do begin
Series1.AddXY(x,f(x));
x := x+h;
end;
Memo1.Lines.Add('По метод Ньютона-Лейбница='+FloatToStrF(s1,fffixed,14,7));
end;
//Метод трапеций
if RadioButton2.Checked then begin
s := (f(a)+f(b))/2;
h := (b–a)/n;
for i := 1 to n–1 do begin
x := a+i*h;
series1.AddXY(x,f(x));
s := s+f(x);
end;
s := s*h;
Memo1.Lines.Add('По методу трапеций='+FloatToStrF(s,fffixed,14,7));
Memo1.Lines.Add('Погрешность='+FloatToStrF(abs(s1–s),fffixed,14,7));
end;
//Метод Симпсона
if RadioButton3.Checked then begin
s := f(a)+f(b);
for j := 1 to n-1 do
begin
x := a+j*h;
if odd(j)=true then s := s+4*f(x)
else s := s+2*f(x);
Series1.AddXY(x,f(x));
end;
s := s*h/3;
Memo1.Lines.Add('По методу Симпсона='+FloatToStrf(s,fffixed,14,7));
Memo1.Lines.Add('Погрешность='+FloatToStrF(abs(s1–s),fffixed,14,7));
end;
end;
2.4. В результате, при выборе одной из радиокнопок будет строиться график и выводиться решение задачи по выбранному методу (рис. 4.4). Обратите внимание, что полученные результаты близки по значениям, что и подтверждают погрешности вычислений.
Рисунок 4.4 – Значения интеграла по методам Симпсона, трапеций, Ньютона-Лейбница
2.5. САМОСТОЯТЕЛЬНО. Создайте процедуры-обработчика нажатием кнопки «Выйти» и «Очистить поле». Продумайте, как вычислить погрешности метода трапеций по формуле (4.5) и метода Симпсона (4.7). Реализуйте это в своем приложении.