- •1. Погрешности и их классификация
- •2. Приближенные числа и действия с ними.
- •Правила записи приближенных чисел.
- •Округление чисел
- •3. Уменьшение погрешностей
- •4. Устойчивость. Корректность. Сходимость.
- •5. Вычисление значений функций. Вычисление значений многочлена. Схема Горнера.
- •Вычисление значений рациональных дробей
- •Приближенное нахождение сумм числовых рядов.
- •Вычисление значений аналитической функции
- •Вычисление значений показательной функции
- •Вычисление значений логарифмической функции
- •Вычисление значений синуса и косинуса.
- •Вычисление значений гиперболического синуса
- •Вычисление значений гиперболического косинуса.
- •Применение метода итерации для приближенного вычисления значений функции
- •Вычисление квадратного корня
- •6. Приближение функций При решении задач постоянно встречается необходимость замены одной функции некоторой другой функцией .
- •6.1.2. Равномерное приближение.
- •6.2. Многочлены Тейлора.
- •6.3. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
- •6.4. Линейная интерполяция.
- •7. Минимизация погрешности интерполяции. Многочлены Чебышева.
- •8. Интерполяция с равноотстоящими узлами.
- •9. Конечные и разделенные разности.
- •10.Интерполяционный многочлен Ньютона.
- •11. Интерполирование сплайнами.
- •12. Численное дифференцирование.
- •Погрешность численного дифференцирования.
- •13. Численное интегрирование.
- •Для удобства в вычислениях вместо дробных индексов вводят целочисленные, т.Е.
- •И формула Симпсона принимает вид
- •Еще одной формулой численного интегрирования является следующая, которая называется формулой Ньютона:
- •Остаточный член имеет вид
- •В последней формуле число узлов обязательно равно .
- •Особые случаи численного интегрирования.
- •Применение метода Монте-Карло к вычислению определенных и кратных интегралов.)
- •Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Отделение корней.
- •Теорема об оценке погрешности приближенного корня.
- •Графическое решение уравнений.
- •Метод половинного деления (дихотомия).
- •Метод хорд (метод пропорциональных частей)
- •Метод Ньютона (метод касательных).
- •Видоизмененный (упрощенный) метод Ньютона.
- •Комбинированный метод (хорд и касательных).
- •Метод итераций
- •Оценка погрешности приближения
- •15. Метод итерации для системы двух уравнений
- •Метод Гаусса.
- •Применение метода Гаусса для вычисления определителей.
- •Метод итерации для решения систем уравнений
- •Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •Так, например, уравнение
- •Является уравнением 1-го порядка.
- •В ходе поиска общего решения часто приходят к соотношению вида
- •Запишем это разложение в виде
- •Метод Эйлера с пересчетом.
- •Решение это приводим:
- •Видно, что при большом числе узлов метод Эйлера может привести к заметным погрешностям, в таких случаях предпочитают пользоваться численными методами высших порядков.
- •Метод Адамса.
6.1.2. Равномерное приближение.
Иногда ставится очень жесткое условие: во всех точках некоторого отрезка отклонение многочлена по абсолютной величине должно быть меньше заданной величины :
, .
При выполнении такого условия говорят, что многочлен равномерно аппроксимирует функцию с точностью на отрезке .
.
Определение. Абсолютным отклонением многочлена от функции на отрезке называется максимальное значение модуля разности между ними на данном отрезке:
(рис. 6.2а.) (6.5)
По аналогии вводится понятие среднеквадратичного отклонения при среднеквадратичном приближении функции
Рис. 6.2. К вопросу о приближениях: а – равномерное приближение, б – среднеквадратичное приближение.
Возможность построения многочлена, равномерно приближающего данную функцию, следует из теоремы Вейерштрасса об аппроксимации:
“Если функция непрерывна на отрезке , то для любого существует многочлен степени , абсолютное отклонение которого от функции на отрезке меньше ”.
В частности, если на отрезке разлагается в равномерно сходящийся степенной ряд, то в качестве аппроксимирующего многочлена можно взять частичную сумму этого ряда. (Такой подход широко используется, например, при вычислении на ЭВМ значений элементарных функций).
Имеется также понятие наилучшего приближения функции f(x) многочленом φ(x) фиксированной степени . В этом случае коэффициенты многочлена следует выбрать так, чтобы на заданном отрезке величина абсолютного отклонения (6.5) была минимальной.
В этом случае многочлен называется многочленом наилучшего равномерного приближения.
Существование и единственность многочлена наилучшего равномерного приближения вытекает из следующей теоремы:
Теорема. Для любой функции , непрерывной на замкнутом ограниченном множестве , и любого натурального существует многочлен степени не выше , абсолютное отклонение которого от функции минимально, т.е., причем такой многочлен единственный. Множество обычно представляет собой либо некоторый отрезок , либо конечную совокупность точек .
(Примером подобного разложения можно привести разложение элементарной функции в тригонометрический ряд. Мы знаем из соответствующего курса математического анализа, что наилучшим приближением функции в виде тригонометрического ряда
является ряд, где коэффициентами и являются коэффициенты Фурье).
6.2. Многочлены Тейлора.
Определение. Будем говорить, что ф-я принадлежит классу , и писать , если ф-ция (х) определена на отрезке и имеет на нем непрерывные производные до порядка включительно.
При вместо используют обозначение .
Запись означает, что ф-ция f(x) непрерывна на отрезке
В окрестности точки достаточно хорошее приближение ф-ции можно представить в виде многочлена Тейлора.
Пусть задана функция
Многочленом Тейлора степени ф-ции f(x) в точке называется многочлен . (6.6)
Многочлен (6.6) обладает тем свойством, что в точке он сам и все его производные до порядка включительно совпадают с соответствующими производными функции , т.е.
в чем легко убедиться, дифференцируя .
Рис.6.3. К приближению многочленом Тейлора.
Многочлен Тейлора хорошо приближает ф-цию в окрестностях точки . Погрешность, возникающая при замене функции ее многочленом , выражается остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа
, (6.7)
где - точка, лежащая строго между и при .
Так как по условию , то она ограничена на этом отрезке, т.е.
(6.8)
На основании (6.7) имеем
(6.9)
или , (6.10)
где .
Определение. Пусть - некоторая функция переменной с конечной областью определения на полуоси , причем может принимать сколь угодно малые значения. Тогда, если существуют такие положительные , что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство
(6.11)
то пишут
(6.12)
и говорят, что есть O большое от (при ).
Согласно данному определению выполняются и следующие очевидные свойства. Если, и ,
причем области определения функций φ и ψ совпадают, т.е. Dφ= Dψ , то
φ(h) + ψ(h), т.е. (6.13)
. (6.14)
Наконец, если, , то , где - постоянная, не зависящая от .
Определение. Аналогично, ф-ция , заданная для всех натуральных , есть O большое , если найдется такая постоянная , что при всех натуральных .
Возращаясь к остаточному члену ряда Тейлора, можем сказать, что погрешность приближения функции многочленом Тейлора есть , а неравенство (6.10) служит оценкой максимаьной погрешности на всем отрезке .
Из вышеприведенного очевидно, что погрешность аппроксимации многочленом Тейлора быстро убывает при и резко возрастает на концах . Причем особенно сильно - у наиболее удаленного от конца. Это есть основной недостаток использования ряда Тейлора при приближении функций.
Тем не менее, многочлены Тейлора широко используются на практике для приближения функций. Особенно это касается ф-ций, у которых легко находятся старшие производные, а остаточный член при . Прежде всего это функции , , , , , и другие.
Пример. Аппроксимировать функцию многочленом Тейлора на отрезке с абсолютной погрешностью, не превышающей .
Решение. Выбираем , т.е. в середине , с тем, чтобы минимизировать величину в составе оценки погрешности (6.10). Очевидно, что
, , , ,
.
Согласно (6.10) при и Mn+1 = e
Для rn составим таблицу:
-
n
3
4
5
6
rn
7,1·10-3
7,1·10-4
5,9·10-5
4,3·10-6
Видно, что .