- •1. Погрешности и их классификация
- •2. Приближенные числа и действия с ними.
- •Правила записи приближенных чисел.
- •Округление чисел
- •3. Уменьшение погрешностей
- •4. Устойчивость. Корректность. Сходимость.
- •5. Вычисление значений функций. Вычисление значений многочлена. Схема Горнера.
- •Вычисление значений рациональных дробей
- •Приближенное нахождение сумм числовых рядов.
- •Вычисление значений аналитической функции
- •Вычисление значений показательной функции
- •Вычисление значений логарифмической функции
- •Вычисление значений синуса и косинуса.
- •Вычисление значений гиперболического синуса
- •Вычисление значений гиперболического косинуса.
- •Применение метода итерации для приближенного вычисления значений функции
- •Вычисление квадратного корня
- •6. Приближение функций При решении задач постоянно встречается необходимость замены одной функции некоторой другой функцией .
- •6.1.2. Равномерное приближение.
- •6.2. Многочлены Тейлора.
- •6.3. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
- •6.4. Линейная интерполяция.
- •7. Минимизация погрешности интерполяции. Многочлены Чебышева.
- •8. Интерполяция с равноотстоящими узлами.
- •9. Конечные и разделенные разности.
- •10.Интерполяционный многочлен Ньютона.
- •11. Интерполирование сплайнами.
- •12. Численное дифференцирование.
- •Погрешность численного дифференцирования.
- •13. Численное интегрирование.
- •Для удобства в вычислениях вместо дробных индексов вводят целочисленные, т.Е.
- •И формула Симпсона принимает вид
- •Еще одной формулой численного интегрирования является следующая, которая называется формулой Ньютона:
- •Остаточный член имеет вид
- •В последней формуле число узлов обязательно равно .
- •Особые случаи численного интегрирования.
- •Применение метода Монте-Карло к вычислению определенных и кратных интегралов.)
- •Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Отделение корней.
- •Теорема об оценке погрешности приближенного корня.
- •Графическое решение уравнений.
- •Метод половинного деления (дихотомия).
- •Метод хорд (метод пропорциональных частей)
- •Метод Ньютона (метод касательных).
- •Видоизмененный (упрощенный) метод Ньютона.
- •Комбинированный метод (хорд и касательных).
- •Метод итераций
- •Оценка погрешности приближения
- •15. Метод итерации для системы двух уравнений
- •Метод Гаусса.
- •Применение метода Гаусса для вычисления определителей.
- •Метод итерации для решения систем уравнений
- •Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •Так, например, уравнение
- •Является уравнением 1-го порядка.
- •В ходе поиска общего решения часто приходят к соотношению вида
- •Запишем это разложение в виде
- •Метод Эйлера с пересчетом.
- •Решение это приводим:
- •Видно, что при большом числе узлов метод Эйлера может привести к заметным погрешностям, в таких случаях предпочитают пользоваться численными методами высших порядков.
- •Метод Адамса.
Правила записи приближенных чисел.
Пусть приближенное число a* задано в виде конечной позиционной записи:
,
где aj – десятичные цифры .
Первая слева, отличная от нуля цифра данного числа, и все расположенные справа цифры называются значащими. Например, числа 537,243 и 0,3470 имеют соответственно 6 и 4 значащие цифры.
Цифра aj называется верной в широком смысле, если , т.е. абсолютная погрешность числа a* не превосходит одной единицы соответствующего разряда десятичного числа.
Цифра aj называется верной в узком смысле, если , т.е. абсолютная погрешность числа a* не превосходит половины одной единицы соответствующего разряда десятичного числа.
В известных таблицах Брадиса значения синуса даны с абсолютной погрешностью 0,5 10-4, т.е. с четырьмя верными значащими цифрами в узком смысле.
В последнее время стали использоваться таблицы (таблицы различных физических величин, экспериментально составленные таблицы), в которых абсолютные погрешности не превосходят единицы последнего разряда, т.е. используются только верные значащие цифры в широком смысле.
Пример. Для точного числа a = 17,976 число a* = 17,97 является приближенным с четырьмя верными цифрами в широком смысле, т.к. , но 0,006>0,5·0,01. Или a* = 17,98 является приближенным с четырьмя верными цифрами в узком смысле, т.к. .
При записи приближенного числа выписываются только его верные знаки (цифры). При этом на правом конце выписываются и верные нули. Например, числа 0,045 и 0,0450, как приближенные, различны. Первое число – с абсолютной ошибкой 10-3, второе – с абсолютной ошибкой 10-4 (если говорить о верных цифрах в широком смысле).
При записи приближенных чисел могут встретиться случаи, когда значащих цифр больше, чем имеется верных знаков.
Рассмотрим число a* = 560000. Известно, что у него верными являются четыре цифры. Но нули мы здесь отбросить не можем, так как изменится число. В этом случае число записывают в нормализованном виде, т.е.
a* = 560000 = 0,5600 106.
В дальнейшем подобные записи (такие как а* = 560000 при числе верных знаков, меньших шести) не допустимы, если число верных знаков меньше значащих. Надо переходить к записи в нормализованном виде.
Часто употребляют запись вида
, (2.11),
означающую, что неизвестная величина а удовлетворяет неравенствам
. (2.12).
При этом величина выписывается с одной или двумя значащими цифрами, а младший разряд в а* соответствует младшему разряду в .
Например, верна запись
a = 2,730 0,017. (2.13).
Следующие записи не верны
Можно говорить о числе верных значащих цифр у приближенного числа и о числе верных цифр после запятой. Как правило, при реальных вычислениях у приближенных чисел содержатся цифры после запятой, т.е. имеется дробная часть.
Например, приближенное число а* = 33,277 имеет пять верных значащих цифр и 3 верные цифры после запятой, а у числа b* = 0,00305 – три верные значащие цифры и 5 верных цифр после запятой.
Очевидно следующее утверждение: «Абсолютная погрешность приближенного числа вполне характеризуется числом верных цифр после запятой, а относительная погрешность – числом верных значащих цифр».