- •1. Погрешности и их классификация
- •2. Приближенные числа и действия с ними.
- •Правила записи приближенных чисел.
- •Округление чисел
- •3. Уменьшение погрешностей
- •4. Устойчивость. Корректность. Сходимость.
- •5. Вычисление значений функций. Вычисление значений многочлена. Схема Горнера.
- •Вычисление значений рациональных дробей
- •Приближенное нахождение сумм числовых рядов.
- •Вычисление значений аналитической функции
- •Вычисление значений показательной функции
- •Вычисление значений логарифмической функции
- •Вычисление значений синуса и косинуса.
- •Вычисление значений гиперболического синуса
- •Вычисление значений гиперболического косинуса.
- •Применение метода итерации для приближенного вычисления значений функции
- •Вычисление квадратного корня
- •6. Приближение функций При решении задач постоянно встречается необходимость замены одной функции некоторой другой функцией .
- •6.1.2. Равномерное приближение.
- •6.2. Многочлены Тейлора.
- •6.3. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
- •6.4. Линейная интерполяция.
- •7. Минимизация погрешности интерполяции. Многочлены Чебышева.
- •8. Интерполяция с равноотстоящими узлами.
- •9. Конечные и разделенные разности.
- •10.Интерполяционный многочлен Ньютона.
- •11. Интерполирование сплайнами.
- •12. Численное дифференцирование.
- •Погрешность численного дифференцирования.
- •13. Численное интегрирование.
- •Для удобства в вычислениях вместо дробных индексов вводят целочисленные, т.Е.
- •И формула Симпсона принимает вид
- •Еще одной формулой численного интегрирования является следующая, которая называется формулой Ньютона:
- •Остаточный член имеет вид
- •В последней формуле число узлов обязательно равно .
- •Особые случаи численного интегрирования.
- •Применение метода Монте-Карло к вычислению определенных и кратных интегралов.)
- •Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Отделение корней.
- •Теорема об оценке погрешности приближенного корня.
- •Графическое решение уравнений.
- •Метод половинного деления (дихотомия).
- •Метод хорд (метод пропорциональных частей)
- •Метод Ньютона (метод касательных).
- •Видоизмененный (упрощенный) метод Ньютона.
- •Комбинированный метод (хорд и касательных).
- •Метод итераций
- •Оценка погрешности приближения
- •15. Метод итерации для системы двух уравнений
- •Метод Гаусса.
- •Применение метода Гаусса для вычисления определителей.
- •Метод итерации для решения систем уравнений
- •Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •Так, например, уравнение
- •Является уравнением 1-го порядка.
- •В ходе поиска общего решения часто приходят к соотношению вида
- •Запишем это разложение в виде
- •Метод Эйлера с пересчетом.
- •Решение это приводим:
- •Видно, что при большом числе узлов метод Эйлера может привести к заметным погрешностям, в таких случаях предпочитают пользоваться численными методами высших порядков.
- •Метод Адамса.
Особые случаи численного интегрирования.
а). В ряде случаев подынтегральная функция или ее производные в некоторых внутренних точках отрезка интегрирования терпят разрыв. В этом случае интеграл вычисляют численно для каждого участка непрерывности, и результаты складываются. Например, при и , , .
б). Вычисление несобственных интегралов. К таким интегралам относятся интегралы, которые имеют хотя бы одну бесконечную границу интегрирования или подынтегральную функцию, обращающуюся в бесконечность хотя бы в одной точке отрезка интегрирования.
Рассмотрим сначала интеграл с бесконечной границей интегрирования, например
.
Возможны несколько приемов вычисления таких интегралов.
1). Можно попытаться ввести замену переменных
Как видно, интервал интегрирования из превратился в отрезок . При этом подынтегральная функция и первые ее производные до некоторого порядка должны оставаться ограниченными.
2). Бесконечную границу заменяют некоторым достаточно большим числом в так, чтобы принятое значение интеграла отличалось от исходного на некоторый малый остаток, т.е.
.
Eсли функция обращается в в некоторой точке конечного отрезка интегрирования, то можно попытаться выделить особенность, представив
подынтегральную функцию в виде суммы . При этом одна из новых функций, например, ограничена, а имеет особенность в данной точке, но интеграл (несобственный) от нее может быть вычислен непосредственно по формулам. Тогда численным методом вычисляется интеграл только от ограниченной функции .
Кратные интегралы. Ограничимся рассмотрением двойных интегралов вида
. (13.23)
Одним из простейших способов вычисления этого интеграла является метод ячеек. Рассмотрим сначала случай, когда областью интегрирования является прямоугольник: По теореме о среднем среднее значение функции равно:
. (13.24)
Будем считать, что среднее значение приближенно равно значению функции в центре прямоугольника, т.е. . Тогда из (13.24) получаем
выражение для приближенного вычисления двойного интеграла.
, (13.25)
.
Точность вычисления можно повысить, если разбить область на прямоугольные ячейки .
Применяя к каждой ячейке формулу (13.25), получаем
.
Суммируя эти выражения по всем ячейкам, находим значение двойного интеграла:
. (13.26)
При стягивании ячеек в точки двойная сумма справа стремится к значению интеграла функции , если она непрерывна.
Можно показать, что погрешность такого приближения интеграла для одной ячейки оценивается соотношением
.
Суммируя эти выражения по всем ячейкам и считая все их площади одинаковыми, получаем оценку погрешности метода ячеек в виде
.
.
Таким образом, формула (13.26) имеет второй порядок точности. Для повышения точности можно использовать методы сгущения узлов сетки. При этом по каждой переменной шаги уменьшают в одинаковое число раз, т.е. отношение должен оставаться постоянным.
В случае если область не прямоугольная, то в ряде случаев ее целесообразно привести к прямоугольному виду путем замены переменных.
Пример: Вычислить площадь круга радиусом R.
В ВВ
В прямоугольной системе координат площадь круга радиусом R находится интегрированием единичной функции по области Gx,y, ограниченной окружностью радиусом R:
.
Хотя вычисление двукратного интеграла в правой части последнего выражения представляет не очень сложную задачу, она ещё более упрощается, если проделать замену переменных x = ρcosφ, y = ρsinφ и перейти в систему координат ρ, φ. После этого мы приходим к совсем простому двукратному интегралу
.
Другим распространенным методом вычисления кратных интегралов является сведение их к последовательному вычислению определенных интегралов.
Для прямоугольной области можно записать:
.
Для вычисления обоих определ-х интегралов могут быть использованы рассмотренные ранее численные методы.
Если область имеет более сложную структуру, то она либо приводится к прямоугольному виду с помощью замены переменных, либо разбивается на простые элементы.