Свойства численного решения

Ошибки исходных данных приводят к ошибке результата. Можно ожидать, что небольшие ошибки в исходных данных приводят к возникновению небольшой ошибке результата. Если результат вычисления непрерывно зависит от исходной величины, т.е. небольшим погрешностям результата, то задача называется устойчивой.

Тема2 Аппроксимация функций

Пусть у=f(x) относительно этой функции известно, что n-точка координат, x_i(i=0-n) функция примет значение y_i a<x_i<b, при чем a=x₁<x₂. Значение y_i могут быть результатами эксперимента или результатами расчета. Нашей задачей является приближенное нахождение искомой функции f(x). Приближенная замена искомой функции f(x) некоторой другой известной функцией называется аппроксимацией.

Для практики важен случай аппроксимации неизвестной функции многочленов φ(х)=а₀+а₁х+а₂х²+а₃х³+…+а_mx^m в этом случае аппроксимация сводится к нахождению коэффициента полинома. Коэффициент полинома подбирается таким образом, чтобы достичь наибольшей близости полинома φ(х) неизвестной функции f(x). Понятие близости может различаться в различных методах аппроксимации.

Метод №1

Интерполяционная формула Лагранжа

Интерполяционная формула Лагранжа есть формула полинома степени n проходящей через все узлы интерполяции.

n+1-точка

а в х

Через n+1 точки можно провести единый полином степени n. Построим такой полином. Введем полином

Легко убедиться, что во всех точках х_j кроме точки х_j=x_i

P_i(x_j)=0,если j не равно i, P_i(x_j)=1, если j=i, следовательно полином проходящий через все точки можно представить в виде L_n(x)=∑Y_iP_i(x).

Так как каждый из полиномов есть полином степени n, то результат полинома Лагранжа есть полином в степени n, другого полинома отличного от полинома Лагранжа проходящего через все узлы {x_i,y_i} быть не может.

С помощью полинома Лагранжа можно вычислить приблизительно аппроксимируемую функцию f(x) для любого x Є [a,b] – интерполяция. Нахождение аппроксимируемой функции для значения х за пределами отрезка [a,b] – экстраполяция. Экстраполяция дает значительно большую погрешность, чем интерполяция. Вычисление полинома Лагранжа обычно не представляет трудности, однако пользоваться им следует с достаточной осторожностью, дело в том, что полином Лагранжа, особенно при больших значениях n, может испытывать резкие колебания, особенно в близи концов отрезка [a,b] и поэтому при некоторых значениях аргумента полином Лагранжа распределяется равномерно на отрезке [a,b], при равностоящих узлах наибольшая точность наблюдается в середине отрезка [a,b], а наименьшее в близи концов отрезка. Можно построить интерполяционный полином, для которого погрешность равномерно распределена, для этого узлы х_i должны являться корнями полинома Чебышева: function Lagrange (x,y: array of double; n: integer; xt:double): double.

Метод №2

Сплайны

При большом числе узлов интерполяции x_iy_iиспользование полинома Лагранжа может оказаться нежелательным, в этом случае аппроксимацию можно производить с помощью сплайнов. Сплайном называется функция, которая вместе с несколькими производными непрерывно на всем заданном отрезке [a,b], а на каждом частичном отрезке в отдельности называется полиномом некоторой степени. Максимально по всем частичным отрезкам степень полинома называется степенью сплайна. Простейшим сплайном первой степени является кусочно-линейная функция.