Метод Ньютона

Этот метод обладает гораздо более высокой сходимостью, и главное обладает большей областью сходимости, чем метод простых итераций.

В основе метода лежит представление всех уравнений системы в виде ряда Тейлора с отброшенными членами, содержащие вторые и более высоких порядков производные.

…………………..

Представим решение на k-ом итерационном шаге в виде x_i = (x_i)^k + dx_i

Нахождение небольших поправок dx_i к решению, для этого подставим значение в уравнение системы.

В результате получается система уравнений:

……………………………………..

В этой системе все производные и все правые части вычисляются при уже найденных значениях.

Получили систему линейных уравнений относительно неизвестных, после того как решение системы найдено, решаем ее методом Гаусса, получаем решение на k+1 итерационном шаге: (x_i)^r+1 = (x_i)^k + dx_i .

Метод 20

Метод возмущения параметров

Наряду с системой, решение которой необходимо найти, рассмотрим систему из такого же числа уравнений, решение которого известно.

…………………..

……………………

Деформируя (возмущая) уравнения системы с известным решением с помощью конечного числа N малых приращений преобразуем их к первой системе, решение которой необходимо найти. Возмущения можно производить различными способами. Например, на k-ом шаге деформации, деформируемую систему можно записать в виде (G_i)^k = G_k + (F_i - G_i)*k/N, i-номер уравнения. Если число шагов деформации N достаточно велико, то деформация системы на каждом шаге будет незначительной.

Решение системы можно использовать как начальное приближение неизвестных для итерационного решения полученного при первой деформации системы. Так как эта система при больших N мало отличается от предыдущей, то вероятно, что сходимость для деформируемой системы будет обеспечена. После этого производится вторая деформация и используя решение полученной для первой деформации в качестве начального приближения. Найдем корень системы после второй деформации, в конце счета, когда номер деформации k станет равной N решаемая система становится эквивалентно исходной. Применение этого метода может привести к значительному объему увеличений, однако при этом возрастают шансы сходимости метода.

Тема 6: Численное интегрирование

Метод 21

Метод определенного интеграла

где,

Часто возникает задача численного интегрирования, например в таких случаях когда:

1. аналитически, через элементарные функции интеграл не берётся;

2. численное интегрирование необходимо использовать, если подинтегральная функция задана в табличном виде.

При численном интегрировании используется определение интеграла и его геометрического смысла. Приближенное значение интеграла мы получим, если в интегральной сумме ограничимся конечным числом слагаемых.

Метод 22

Метод трапеции

В методе трапеции интеграл приближенно заменяется на сумму площадей трапеций образующихся после замены графика функций y=f(x) ломанной соединяющей точками y=f(x) (x_i-1,y_i-1)-(x_i,y_i).

Площадь трапеции с номером (i) равняется:

∆x_i=h_i-шаг интегрирования.

Для практического использования важен случай интегрирования с постоянным шагом hi=h=const, в этом случае: =

Погрешность численного интегрирования определяется шагом разбиения h, с уменьшением h точность возрастает, точность вычисления интеграла по методу прямоугольников и трапеций имеет порядок h²

Метод 23