5.2. Классификация точек разрыва.

Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва функции. Существуют следующие типы точек разрыва.

Устранимый разрыв. Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если предел функции в этой точке существует, но в точке функция либо не определена, либо ее значение не равно пределу в этой точке (рис. 50, а).

а) б) в)

Рис. 50

Пример 1. Функция в точке , как известно, имеет предел равный единице. Однако в самой точке эта функция не определена, этот разрыв можно устранить, если доопределить функцию в этой точке значением предела в ней, тогда функция будет непрерывной на всей числовой оси.

Разрыв первого рода. Точка называется точкой разрыва 1-го рода функции , если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы (рис. 50, б).

Пример 2. Для функции точка является точкой разрыва первого рода, так как , а .

Разрыв второго рода. Точка называется точкой разрыва 2-го рода функции , если в этой точке функция не имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен (рис. 50, в).

Пример 3. Для функции точка является точкой разрыва 2-го рода, поскольку .

Пример 4. Для функции точка является точкой разрыва 2-го рода, так как ни левого, ни правого предела функции в этой точке не существует.

Например, функция разрывна, поскольку при функция не определена (рис. 6), а , . Точка является точкой разрыва второго рода.

Для функции (рис. 7) точка является точкой разрыва второго рода, поскольку , .

Еще одним примером точки разрыва второго рода является точка для функции . В данном случае не существуют правосторонний и левосторонний пределы функции.

Пример 5. Пусть Подобрать числа и так , чтобы функция была непрерывной ; построить её график (Ответ: - 1, ).

Пример 6. Функция разрывна, поскольку при функция не определена, а , . Следовательно, точка является точкой разрыва второго рода.

Пример 7. Разрыв второго рода в точке имеет функция . В данном случае не существуют правосторонний и левосторонний пределы функции.

5.3. Непрерывность суммы, произведения, частного непрерывных функций, сложной и обратной функций

Теорема 1. Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции , , также непрерывны в точке (частное – при условии ).

Действительно, пусть функции и непрерывны в точке и ее окрестности. Докажем непрерывность функции , т.е. справедливость равенства .

.

Поскольку функции и непрерывны в точке и ее окрестности, т.е. , , то и .

Теорема 2. Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция также непрерывна в точке .

Доказательство. Пусть и фиксирована произвольным образом окрестность точки . Тогда в силу непрерывности функции в точке существует такая окрестность , что, если , то . Далее, в силу непрерывности функции в точке , существует такая окрестность , что если , то функция определена в этой точке и . Следовательно, для этой точки определена и функция , причем выполняется включение , где , а значит, , откуда и вытекает непрерывность сложной функции .

Теорема 3. Пусть функция непрерывна и строго монотонна на промежутке и , тогда обратная функция также непрерывна и монотонна на промежутке .

Доказательство. Пусть для определенности функция строго возрастает на множестве . Докажем, что обратная функция однозначна. Допустим противное. Пусть существует такая точка , что множество содержит по крайней мере две точки и : и , , и, следовательно, . Для двух чисел и , справедливо одно из двух неравенств: или ; в первом случае в силу строгого монотонного возрастания функции имеем , а во втором , т.е. в обоих случаях равенство не выполняется. Таким образом, для каждого множество состоит в точности из одной точки, т.е. функция однозначна.

Теперь докажем, что функция строго возрастает на множестве . Пусть , , и пусть , .Следовательно, , . Для любых двух чисел и справедливо одно из трех соотношений: либо , либо , либо . Если или , то соответственно было бы ( в силу строго монотонного возрастания функции ) или (в силу однозначности), что противоречило бы неравенству , , . Таким образом, из этого неравенства следует, что , а это и означает строгое возрастание функции на множестве .

Замечание. Теоремы 1, 2 и 3 дают лишь достаточные условия непрерывности суммы, произведения, частного функций и сложной функции.