Системы счисления

Система счисления - способ наименования и обозначения чисел.

Различают системы счисления: непозиционные (например, римская система счисления VI, III, XI) и позиционные. В позиционной системе счисления вес цифры, используемой для записи числа, зависит от ее места (позиции), т.е. каждая из цифр несет двойную информацию: во-первых, свое собственное значение (2, 3, 5 и т.д.), а во-вторых, информацию о месте (позиции), которое она занимает в записи (разряд).

Для записи числа в позиционной системе счисления с основанием p используется p различных цифр, которые обозначают числа от 0 до p-1 включительно. Два соседних разряда отличаются друг от друга в p раз. Так в восьмеричной системе счисления используются цифры 0  7, в шестнадцатеричной - цифры 0  9 и латинские буквы A, B, C, D, E, F.

Перевод из десятичной системы счисления

При переводе из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием p целая и дробная части числа переводятся отдельно.

Для перевода целой части числа нужно ее делить на p до получения целого частного. Полученный при этом остаток, в том числе и 0, будет младшим разрядом числа в новой системе счисления. Полученное частное нужно опять разделить на p до получения целого частного и продолжать этот процесс до тех пор, пока частное не станет меньше p. Полученные при этом остатки будут разрядами числа в новой системе счисления. Число в новой системе счисления с основанием p получается выписыванием в обратном порядке последнего частного и полученных остатков. При этом все действия выполняются по правилам десятичной системы счисления.

Пример. Перевести 39₁₀  x₂.

_39 2__

38 _19 2_

1 18 _9 2_

1 8 _4 2_

1 4 _2 2_

0 2 1

0

Ответ: 39₁₀  100111₂

Дробная часть переводится путем умножения ее на основание новой системы счисления. Полученная при этом целая часть является очередным разрядом числа в новой системе счисления. Этот процесс выполняется столько раз, сколько необходимо знаков в дробной части числа в новой системе счисления.

Пример. Перевести 0,97₁₀  x₂.

Ответ: 0,97₁₀  0,1111₂  0,7605₈.

Упражнение.

Переведите из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления числа 87; 185; 239.

_______________________________________________________________________

Проверьте себя: 1010111₂, 10111001₂, 11101111₂; 127₈, 271_8, 357₈; 57₁₆, 1F₁₆, EF₁₆.

Перевод в десятичную систему счисления

Для перевода из системы счисления с основанием p в десятичную систему счисления нужно представить число в виде многочлена и вычислить значение этого многочлена по правилам арифметики десятичной системы счисления.

Пример. Переведите число 100111 из двоичной системы счисления в десятичную.

100111₂  1 · 2⁵ + 0 · 2⁴ + 0 · 2³ + 1 · 2² + 1 · 2¹ + 1 · 2⁰ = 32 + 4 + 2 + 1 = 39₁₀.

Удобно вычислять значение многочлена, используя схему Горнера:

a_nxⁿ ₊ a_n-1x^n-1 + ... + a_ixⁱ + ... + a₁x¹ + a₀ = (...(a_nx + a_n-1)x + ... + a_i)x + ... + a₁)x + a₀.

Для рассмотренного примера:

100111₂  ((((1· 2 + 0)· 2 + 0)· 2 + 1)· 2 + 1)· 2 + 1.

Упражнение.

Переведите в десятичную систему счисления следующие числа:

01010₂, 1000011110101₂, 763₈, 2201₈, 1АС₁₆, 763₁₆.

_____________________________________________________________________________

Проверьте себя: 42, 4341; 499, 1153; 428, 1891.