Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную, шестнадцатеричную системы и обратно

Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмеричную (шестнадцатеричную) необходимо переводимое число разбить на тройки (четверки) влево и вправо от запятой и каждую тройку (четверку) цифр заменить соответствующим восьмеричным (шестнадцатеричным) эквивалентом. Для чего необходимо знать таблицу соответствия:

“10”	“16”	“2”	“10”	“16”	“2”	“10”	“16”	“2”
0	0	0	6	6	110	12	C	1100
1	1	1	7	7	111	13	D	1101
2	2	10	8	8	1000	14	E	1110
3	3	11	9	9	1001	15	F	1111
4	4	100	10	A	1010
5	5	101	11	B	1011

Пример1. 110001011100100₂  1110001011100100₂  161344₈

1 6 1 3 4 4

1110001011100100₂  1110001011100100₂  E2E4₁₆

E 2 E 4

Для перевода из восьмеричной (шестнадцатеричной) системы счисления в двоичную необходимо каждую цифру переводимого числа представить тройкой (четверкой) соответствующих двоичных разрядов.

Пример. E2E4₁₆  1110001011100100₂.

Упражнение.

Перевести числа 7363₈, 1234567₈ в шестнадцатеричную систему счисления двумя способами.

_________________________________________________________________________

Проверьте себя: F73₁₆, 53977₁₆.

Выполнение арифметических операций в позиционных системах счисления

Арифметические операции выполняются во всех позиционных системах счисления одинаково по следующим правилам.

Сложение выполняется поразрядно для чисел, записанных друг под другом и выровненных вправо по разряду единиц. Если при сложении цифр в текущем разряде с учетом единицы переноса из младшего разряда сумма получилась больше основания системы счисления, то из нее вычитается основание системы счисления, результат записывается в текущем разряде и запоминается единица переноса в старший разряд. Если сумма получилась меньше основания системы счисления, то она записывается в данный разряд.

Пример.

Упражнение. Найдите сумму

1. 10101₂ + 101₂; 11010₂ + 1011₂; 10101₂ + 1011₂

2. 524₈ + 57₈; 5731₈ + 1376₈; 321,7₈ + 765,4₈

3. F0B₁₆ + 1DA₁₆; 2EA₁₆ + FCE₁₆; A2F8₁₆ + FDA₁₆.

________________________________________________________________________

Проверьте себя: 11010₂, 100101₂, 100000₂; 603₈, 7327₈, 1307,3₈; 10E5_16, 12B8_16, B2D2₁₆.

Вычитание выполняется поразрядно для чисел, записанных друг под другом и выровненных по разряду единиц. Если разряд уменьшаемого больше разряда вычитаемого, то их разность записывается в текущий разряд. В противном случае занимается единица из старшего разряда, которая равна p единицам младшего разряда (p - основание системы счисления), и производится вычитание.

Пример.

Упражнение. Найдите разность:

1. 101000₂ - 11₂; 100001₂ - 1001₂; 100010₂ - 101₂

2. 137₈ - 72,1₈; 705₈ - 76,3₈; 7135₈ - 756₈

3. F05₁₆ - AD,3₁₆; EA35₁₆ - FC8₁₆; F1C5₁₆ - DEB₁₆.

________________________________________________________________________

Проверьте себя: 100101₂, 11000₂, 111101₂; 44,7₈, 606,5₈, 6157₈; E57,D₁₆, DA6D₁₆, E3DA₁₆.

Умножение осуществляется на основе таблицы умножения поразрядно справа налево. При перемножении текущих разрядов результат определяется по таблице умножения с учетом переноса из младшего разряда. Единицы переносятся в результат. Остальные разряды составляют перенос в следующий разряд. Промежуточные поразрядные произведения записываются друг под другом со сдвигом влево на один разряд, складываются, и получается результирующее произведение.

Пример. Найти произведение.

_х 10101_{2 х}1001₂

__1011_{2 ____}11₂

10101 ₊1001

₊10101 1001

10101___ 11011₂

11100111₂

Пример. Найти Х из условия: х26₈ - 1х3₈ = 34х₁₀.

Пример. Найдите x из условия x26₈-1x3₈=34x₁₀.

Представим все числа в форме многочлена:

x· 8² + 2· 8 + 6 - (1· 8² + x· 8 + 3) = 3· 10² + 4· 10 + x.

Приведем подобные члены и получим уравнение: 55х - 385 = 0.

Решение этого уравнения х =7.

Поскольку 7 может быть цифрой восьмеричной или десятичной систем счисления, то ее можно рассматривать в качестве ответа.

Правильность найденного решения нужно проверить непосредственной его подстановкой в заданное условие:

726₈ = 7· 8² + 2· 8¹ + 6· 8⁰ = 470₁₀

173₈ = 1· 8² + 7· 8¹ + 3· 8⁰ = 123₁₀

470₁₀ - 123₁₀ = 347₁₀

347₁₀ = 347₁₀

Ответ: х = 7.

Упражнения.

1. Определите основание системы счисления, исходя из равенства:

а) 202_х - 121_х = 22_4х - (х₁₀ + 1)².

б) 121_х + B₁₆ = (х₁₀ + 10₂)².

в) 135_x+250_x=1x1₁₀.

г) 323_2x∙4_5x-135_3x-2=513_3x.

д) 12.2_x+6.6_2x=13.25₁₀.

е) (500_x+1-21_x+2_3x):11_2x=30_x.

ж) 83_3x:2_2x=51.6_2x+2.

з) 132_x∙2x₆=2040_x+2.

и) xx_2x=13_0.5x∙22_x+22_0.5x.

к) 11₂∙21_x+102_0.5x=126_x-1.

л) 20_x(x₁₀+10₂∙57_x)-510_x=2430_x.

2. Опишите способ перевода числа, записанного в троичной системе счисления, в девятеричную, минуя десятичную систему счисления.

3. Даны числа, записанные в различных системах счисления. Найдите для каждого их них предыдущее и последующее:

2122₃, 777₈, 1001₂, 344₅, 1101₂, 220₃.

4. Переведите в двоичную, шестеричную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления 87,17₁₀.

________________________________________________________________________

Проверьте себя:

1. а) - 4, б) – 6, в) – 6, г) – 3, д) – 4, е) – 6, ж) - -5, з) – 5, и) – 8, к) – 8, л) –8.

2. Поскольку девять – это квадрат тройки, то нужно разбить число от разряда единиц влево по две цифры и каждую пару троичных цифр заменить цифрой девятеричной системы счисления в соответствии с таблицей:

Троичная с/с	Девятеричная с/с
00	0
01	1
02	2
10	3
11	4
12	5
20	6
21	7
22	8

3. Сверьте результаты:

предыдущее	21213	7768	10002	3435	11002	2123
исходное	21223	7778	10012	3445	11012	2203
следующее	22003	10008	10102	4005	11102	2213

4. 1010111.00101011100001010001111₂

223.1(004153)₆

127.12702436₈

57.(2B851E)₁₆.