5. Квантовая природа света.

19. Энергия фотона:

где  – длина волны, с – скорость света в вакууме, h – постоянная Планка,  – частота света.

20. Масса и импульс фотона:

p_ф = mc =.

21. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:

,

где h – энергия фотона, падающего на поверхность металла; А – работа выхода электрона из металла;  – максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.

22. Красная граница фотоэффекта:

,

где ₀ – максимальная длина волны света, при которой еще возможен фотоэффект, А – работа выхода электрона из металла.

23. Формула Комптона:

,

где ₁ – длина волны падающего рентгеновского излучения; ₂ – длина волны фотона, рассеянного на угол  после взаимодействия с электроном, m₀ – масса покоя электрона.

24. Комптоновская длина волны: м.

25. Давление света при нормальном падении на поверхность:

,

где E – энергетическая освещенность (энергия фотонов, падающих на единицу поверхности за единицу времени); c – скорость света,  – коэффициент отражения света поверхностью.

6. Релятивистская механика.

26. Релятивистская масса:

или ,

где m₀ – масса покоя частицы,  – ее скорость, с – скорость света в вакууме,  – скорость частицы, выраженная в долях скорости света.

27. Взаимосвязь массы и энергии релятивистской частицы:

,

где E₀ = m₀c² – энергия покоя частицы.

28. Полная энергия свободной частицы:

Е = Е₀ + Т,

где Т – кинетическая энергия релятивистской частицы.

29. Кинетическая энергия релятивистской частицы:

или .

30. Импульс релятивистской частицы:

, или .

31. Связь между полной энергией и импульсом релятивистской частицы:

;

Частицу следует считать релятивисткой, если не выполняется соотношение: T<<E₀.

Примеры решения задач.

Пример 1. На толстую стеклянную пластинку, покрытую тонкой пленкой с показателем преломления n = 1.4, падает параллельный пучок монохроматического света ( = 5 мкм) под углом  = 30. Отраженный свет максимально ослаблен вследствие интерференции. Определить толщину d пленки.

Рис. 35

Решение. В точках A и B световой пучок частично отражается от границы сред и частично преломляется. Образованные при отражении лучи 1 и 2 являются когерентными и интерферируют. Условие максимального ослабления света при интерференции состоит в том, что оптическая разность хода этих лучей должна быть равна нечетному числу полуволн:

,

где  – длина волны света, k = 0, 1, 2 ...

Как видно из рис. 35, оптическая разность хода

(для воздуха n₁ = 1). (1)

В теоретическом курсе доказывается, что в этом случае

. (2)

Поскольку n₁ = 1, n₂ = 1.4 (стекло), n₁ < n₂ < n₃.

Следовательно в точке А и в точке В происходит отражение от более плотной среды, фаза колебания световой волны изменяется на  и для луча 1 и для луча 2. Поэтому, результат интерференции этих лучей будет такой же, как если бы изменения фазы не было вообще. Итак, условие минимума интерференции с учетом (1) и (2) принимает вид:

Отсюда толщина пленки .

Полагая k = 0, 1, 2…, получим ряд возможных значений толщины пленки:

, и т. д.

Пример 2. Постоянная дифракционной решетки в m раз (m = 4) больше длины световой волны монохроматического света, нормально падающего на ее поверхность. Определить угол между первыми симметричными главными максимумами.

Решение: Постоянная d дифракционной решетки, длина световой волны  и угол  отклонения лучей, соответствующий k-му максимуму, связаны соотношением:

Рис. 36

(1)

Главные максимумы 1-го порядка соответствуют значению k =  1. Таких максимумов два, они расположены симметрично справа и слева от центрального максимума, соответствующего k = 0 (см. рис. 36). Угол, под которым виден максимум первого порядка, находится из соотношения (1):

. (2)

Отсюда искомый угол между двумя первыми симметричными главными максимумами будет равен:

. (3)

Подставляя в (3) числовые данные, получим:

.

Пример 3. Луч света последовательно проходит через три николя, плоскости пропускания которых образуют между собой углы ₁₂ = 45 и ₂₃ = 30. Полагая, что коэффициент поглощения каждого николя k = 0.15, найти, во сколько раз луч, выходящий из третьего николя, ослаблен по сравнению с лучом, падающим на первый николь. Потери на отражение не учитывать.

Решение. Луч естественного света, падая на грань первого николя, разделяется вследствие двойного лучепреломления на два луча: обыкновенный и необыкновенный. Оба луча имеют одинаковую интенсивность и поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях. Обыкновенный луч полностью поглощается в материале николя, а необыкновенный луч проходит через первый николь, также ослабляясь вследствие поглощения. Поэтому интенсивность необыкновенного луча, вышедшего из первого николя, будет равна:

, (1)

где I₀ – интенсивность естественного света, k – коэффициент поглощения.

Далее луч плоскополяризованного света интенсивности I₁ падает на грань второго николя и также разделяется на обыкновенный и необыкновенный лучи. Обыкновенный луч полностью поглощается; интенсивность луча, прошедшего второй николь, определяется по закону Малюса:

, (2)

где ₁₂ – угол между плоскостью колебаний светового вектора в луче с интенсивностью I₁ и плоскостью пропускания второго николя.

Аналогично после прохождения третьего николя:

. (3)

Далее, подставляя в (3) выражения (1) и (2), получим:

. (4)

Отсюда ослабление интенсивности луча, прошедшего систему из трех николей определится следующим образом:

. (5)

Подставляя числовые данные, получим: .

Таким образом, интенсивность света уменьшается в раза.

Пример 4. Максимум спектральной плотности излучательности Солнца соответствует длине волны _m = 0.5 мкм. Принимая Солнце за абсолютно черное тело, определить излучательность Солнца R_э и поток энергии Ф, излучаемый Солнцем.

Решение. Излучательность (энергетическая светимость) абсолютно черного тела выражается формулой Стефана-Больцмана:

, (1)

где  – постоянная Стефана-Больцмана .

Температура излучающей поверхности может быть определена из закона смещения Вина:

. (2)

Выразив из (2) температуру и подставив ее в (1), получим

. (3)

Проводя вычисления по формуле (3), получим

.

Поток энергии , излучаемый Солнцем, равен произведению излучательности R_э на площадь S его поверхности:

, или , (4)

где R – радиус Солнца (R = 6.9510⁸ м).

Подставив в формулу (4) числовые значения, получим: Ф = 3.910²⁶ Вт.

Пример 5. В результате эффекта Комптона рентгеновский фотон с энергией ₁ = 1.02 МэВ был рассеян на свободных электронах на угол  = 150. Определить энергию ₂ рассеянного фотона и импульс электрона отдачи.

Решение. При эффекте Комптона выполняется закон сохранения энергии:

₁ + Е₀ = ₂ + Е, (1)

где ₁, ₂ – энергия падающего и рассеянного фотонов соответственно, Е₀ – энергия покоя свободного электрона (Е₀ = 0.51 МэВ), Е – полная энергия электрона отдачи.

Для определения энергии рассеянного фотона воспользуемся формулой Комптона:

, (2)

где ₁ и ₂ – длины волн падающего и рассеянного фотонов соответственно, h – постоянная Планка, m₀ – масса покоя электрона, с – скорость света в вакууме,  – угол рассеяния.

Преобразуем формулу (2) с учетом того, что к виду:

.

Далее, сокращая на hc, найдем искомую энергию:

(3)

Подставляя в (3) числовые значения энергии в МэВ, получим:

₂ = 0.215 МэВ.

Для определения импульса электрона воспользуемся формулой связи импульса и энергии:

где Е = ₁ – ₂ + Е₀ – полная энергия электрона из (1). Отсюда:

.

После расчетов получаем:

.

Пример 6. Монохроматический ( = 0.582 мкм) пучок света падает нормально на поверхность с коэффициентом отражения  = 0.7. Определить число фотонов, ежесекундно падающих на 1 см² этой поверхности, если давление света на эту поверхность р = 1.2 мкПа. Найти концентрацию фотонов в 1 см³ падающего светового пучка.

Решение. Давление, производимое светом на поверхность при нормальном падении, определяется формулой:

, (1)

где E – энергия, падающая на единицу поверхности за единицу времени (энергетическая освещенность), c – скорость света,  – коэффициент отражения поверхности.

С другой стороны, энергетическая освещенность может быть выражена через число падающих фотонов N:

, (2)

где – энергия падающего фотона. Тогда на основании (1) и (2) получим:

, откуда . (3)

Подставляя числовые данные, получим число фотонов, падающих на 1 м² поверхности в течение 1 с. Соответственно на площадку S = 1 см² падает число фотонов N':

(4)

Подставляя числовые данные в системе СИ , получим N' = 5.110¹⁶ фотонов.

Концентрация фотонов вблизи поверхности в падающем луче определяется формулой:

,

где n₀ – число фотонов в 1 м³. Тогда число фотонов в 1 см³ равно

. (5)

Подставляя числовые данные в (5) с учетом того, что V = 10^-6 м³, получим .

Пример 7. Определить релятивистский импульс электрона, обладающего кинетической энергией Т = 5 МэВ.

Решение. Релятивистский импульс частицы определяется по формуле:

.

Так как скорость электрона не дана в условии задачи, необходимо выразить релятивистский импульс непосредственно через кинетическую энергию. Для этого воспользуемся формулой связи полной энергии частицы и ее релятивистского импульса:

,

где Е₀ = m₀c² энергия покоя частицы. Для электрона Е₀ = 0.51 МэВ. Отсюда релятивистский импульс:

. (1)

Очевидно, что разность между полной энергией и энергией покоя частицы есть кинетическая энергия Т: Е – Е₀ = Т, а сумма Е + Е₀ 2Т.

Выражение (1) принимает вид:

. (2)

Вычисления удобно провести в два приема: сначала рассчитать значение импульса во внесистемных единицах , а затем перейти к вычислению в единицах системы СИ.

Подставляя числовые данные в (2), получаем:

.

№ 514

Дифракционная решетка, освещенная нормально падающим светом (монохроматическим), отклоняет спектр третьего порядка на угол  = 30. На какой угол отклоняет она спектр четвертого порядка?

№ 550

Найти значение постоянной Планка, если известно, что электроны, вырываемые с поверхности металла светом с частотой ₁ = 2.210¹⁵ Гц полностью задерживаются разностью потенциалов U₁ = 0.6 B, а вырываемые светом с частотой ₂ = 4.610¹⁵ Гц – разностью потенциалов U₂ = 16.5 B.

№ 560

Рентгеновские лучи ( = 1 нм) рассеиваются электронами, которые можно считать практически свободными. Определить максимальную длину волны _max рентгеновских лучей в рассеянном луче.

№ 565

На расстоянии r = 5 м от точечного монохроматического ( = 0.5 мкм) изотропного источника расположена площадка (S = 8 мм²) перпендикулярно падающим лучам. Определить число N фотонов, ежесекундно падающих на эту площадку. Мощность излучения Р = 100 Вт.