4. Ядерные реакции .

20. Массовое число ядра (число нуклонов в ядре):

A = Z + N,

где Z – число протонов, N – число нейтронов.

21. Дефект массы ядра:

,

где Z – число протонов в ядре, A – Z = N – число нейтронов в ядре, m_p – масса протона, m_n – масса нейтрона, m_z – масса ядра.

22. Энергия связи ядра

Е_св = mc²,

где с – скорость света в вакууме.

Во внесистемных единицах МэВ энергия связи ядра:

E_св = 931m,

где m – дефект массы в а.е.м. (1 а.е.м. ~ 931МэВ).

23. Энергетический эффект ядерной реакции

или МэВ,

где m₁ – сумма масс частиц до реакции, m₂ – сумма масс частиц после реакции. В эту формулу можно подставлять массы изотопов, а не ядер, так как поправки на массу электронной оболочки входят с разными знаками и поэтому взаимно исключаются.

5. Радиоактивность.

24. Закон радиоактивного распада:

, или ,

где dN – число ядер, распадающихся за интервал времени dt, N – число ядер, не распавшихся к моменту времени t, N₀ – число ядер в начальный момент (t=0),  – постоянная радиоактивного распада.

25. Число ядер, распавшихся за время t:

.

В случае, если интервал времени t, за который определяется число распавшихся ядер, много меньше периода полураспада Т_1/2, то число распавшихся ядер можно определить по формуле:

.

26. Зависимость периода полураспада от постоянной радиоактивного распада:

.

27. Среднее время жизни  радиоактивного ядра, т.е. интервал времени, за который число нераспавшихся ядер уменьшается в е раз:

.

28. Число атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе:

,

где m – масса изотопа, – молярная масса, N_А – число Авогадро.

29. Активность радиоактивного изотопа:

, или ,

где dN – число ядер, распадающихся за интервал времени dt, А₀ – активность изотопа в начальный момент времени. Измеряется в беккерелях (Бк).

30. Удельная активность изотопа

.

Примеры решения задач.

Пример 1. Определить для атома водорода радиус третьей боровской орбиты, скорость электрона на ней и период обращения.

Решение: На основании второго постулата Бора (закон квантования орбит):

, (1)

где m – масса электрона, _n – скорость электрона на n-ой орбите, r_n – радиус n-ой орбиты, n – главное квантовое число (номер орбиты), h – постоянная Планка.

Запишем далее второй закон Ньютона для электрона, движущегося вокруг ядра под действием кулоновской силы притяжения ядра (ядром атома водорода является протон):

, (2)

где – центростремительное ускорение. Решая совместно уравнения (1) и (2) относительно r_n и _n, получим:

. (3)

Период обращения электрона :

. (4)

Подставим числовые значения в формулы (3) и (4):

n = 3, ₀ = 8.8510^-12 Ф/м, m = 9.110^-31 кг, е = 1.610^-12 Кл, h = 6.6210^‑34Дж с.

Получим: r₃ = 4.710^-10 м, ₃ = 7.210⁵ м/с, Т₃ = 0.4110^-14 с.

Пример 2. Электрон в атоме водорода перешел с третьего энергетического уровня на второй. Определить энергию испущенного при этом фотона.

Решение: Для определения энергии фотона воспользуемся сериальной формулой для водородоподобных ионов:

, (1)

где  – длина волны излученного фотона, R – постоянная Ридберга, Z – порядковый номер элемента в таблице Менделеева (для атома водорода Z=1), n₁ – номер орбиты, на которую перешел электрон, n₂ – номер орбиты, с которой перешел электрон.

Энергия фотона выражается формулой:

.

Умножив обе части формулы (1) на hc, получим выражение для энергии фотона:

.

Так как величина Rhc есть энергия ионизации Е_i атома водорода, то формула (2) примет вид :

, (2)

Подставим числовые данные: E_i = 13.6 эВ (см. табл. 1), Z = 1, n₁ = 2, n₂ = 3.

Получим Е =13.6()=1.9 эВ.

Пример 3. Найти длину волны де Бройля для электрона, обладающего кинетической энергией Т = 5 МэВ.

Решение: В данной задаче кинетическая энергия электрона больше, чем его энергия покоя Е₀ = m₀c² = 0.51 МэВ. Следовательно, электрон – релятивистская частица и поэтому его импульс выражается формулой:

. (1)

Длина волны де Бройля:

,

где h – постоянная Планка, p – импульс частицы.

С учетом (1):

.

Подставляем числовые значения:

h = 6.6210^-34 Джс, с = 310⁸ м/с, Т = 510⁶1.610^-19 = 8.010^-13 Дж.

В результате расчетов получаем:  = 2.2510^-12 м.

Пример 4. Используя соотношения неопределенностей, определить наименьшую неточность, с которой можно вычислить координату электрона в атоме. Средняя кинетическая энергия электрона в невозбужденном атоме водорода равна 13.6 эВ.

Решение: Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид:

,

отсюда неточность координаты частицы

. (1)

Электрон по условиям данной задачи является нерелятивистской частицей (Т<<Е₀). Запишем связь импульса с кинетической энергией:

. (2)

Данная формула позволяет определить модуль вектора импульса. Проекция p_x импульса на ось x оказывается неопределенной, так как ее величина изменяется в интервале (‑p, p). Поэтому за неопределенность импульса p_x можно взять величину, не превышающую значение самого импульса

р_х  р.

Отсюда с учетом (1) и (2):

.

Подставляем числовые значения:

= 1.0510^-34 Джс, m = 9.110^-31 кг, Т = 13.61.610^-19 Дж.

Получаем результат: х  0.510^-10 м.

Из решения видно, что наименьшая неточность в определении координаты электрона в атоме примерно равна (по величине) радиусу первой боровской орбиты.

Пример 5. Частица находится в возбужденном состоянии (n=3) в одномерном потенциальном ящике шириной l с абсолютно непроницаемыми стенками (0 < х < l). Определить вероятность обнаружения частицы в средней трети ящика.

Решение: В одномерном случае вероятность dw обнаружения частицы в интервале dx можно определить по формуле:

,

где – плотность вероятности.

Вероятность обнаружения частицы в средней трети ящика (l/3 < x < 2l/3) выразится через интеграл:

w =.

Собственная волновая функция, описывающая возбужденное состояние частицы (n = 3) в потенциальном ящике имеет вид:

. (1)

С учетом (1) искомая вероятность:

.

Используя соотношение , вычислим интеграл :

Рис. 37

Заштрихованная площадь кривой (рис. 37) численно равна вероятности обнаружения частицы в интервале l/3 < x < 2l/3.

Пример 6. Указать (с учетом принципа Паули), какое максимальное количество электронов в атоме может иметь следующие одинаковые квантовые числа:

1) n, l, m_l;

2) m_l, m_s, если n = 2.

Решение: По принципу запрета Паули в атоме не может быть двух и более электронов с одинаковыми квантовыми числами. Если три квантовых числа одинаковы, то электроны должны отличаться хотя бы спином (собственным механическим моментом импульса), который может принимать для электронов только два значения:

L_s = m_sћ, где m_s = 1/2.

Следовательно, в первом случае электронов с тремя одинаковыми квантовыми числами n, l, m_l может быть не более двух. Во втором случае квантовому числу n = 2 соответствуют два значения азимутального квантового числа l (0,1) (Савельев И.В. Курс общей физики, т.3. М. 1987 г., стр. 129, табл. 36.1). В свою очередь каждому l соответствует набор значений магнитного квантового числа m_l (m_l = 0, 1, 2... l). Следовательно, и для l = 0 и для l = 1 значение m_l = 0 является одинаковым. С учетом того, что спин электронов с таким набором квантовых чисел должен быть одинаков, получаем, что число таких электронов может быть также не более двух. Набор квантовых чисел для этих электронов:

для 1-ого: 2, 0, 0, +1/2;

для 2-ого: 2, 1, 0, + 1/2.

Пример 7. При соударении -частицы с ядром атома бора произошла ядерная реакция, в результате которой образовались два новых ядра: ядро атома водорода и ядро изотопа углерода . Определить энергетический эффект этой реакции.

Решение. Краткая запись ядерной реакции имеет вид:

(-частица представляет собой ядро атома гелия).

Энергетический эффект Q ядерной реакции определяется по формуле :

.

При числовых подсчетах по этой формуле массы ядер заменяют массами нейтральных атомов, так как электронные оболочки ядер гелия и бора вместе содержат столько же электронов, сколько и электронные оболочки ядер углерода и водорода.

Подставив массы атомов (из табл. 14) в расчетную формулу, получим:

Q = 931((4.00260+10.01294) – (1.00783+13.00335)) МэВ = 4.06 МэВ.

Энергия в результате реакции выделяется, т.к. Q > 0.

Пример 8. Определить начальную активность А₀ радиоактивного препарата магния ²⁷Mg массой m = 0.2 мкг, а также его активность А через 6 часов. Период полураспада магния считать известным.

Решение. Активность А изотопа характеризует скорость радиоактивного распада и определяется отношением числа dN ядер, распавшихся за интервал времени dt к этому интервалу:

A = – dN/dt. (1)

Знак “–” показывает, что число N радиоактивных ядер с течением времени убывает.

Для нахождения dN/dt воспользуемся законом радиоактивного распада:

N = N₀e^-t, (2)

где N – число радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе в момент времени t, N₀ – число ядер в момент времени, принятый за начальный (t = 0),  – постоянная радиоактивного распада.

Продифференцируем выражение (2) по времени:

. (3)

Исключая из формул (1) и (3) , находим активность препарата в момент времени t:

(4)

Начальную активность А₀ получаем при t = 0:

A₀ = N₀. (5)

Постоянная  связана с периодом полураспада Т_1/2 соотношением:

. (6)

Число N₀ радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, можно определить по формуле:

, (7)

где  – количество вещества, m – масса изотопа,  – молярная масса, N_A – постоянная Авогадро.

С учетом выражений (6) и (7) формулы (5) и (4) принимает вид:

.

Произведем вычисления, учитывая, что Т_1/2 = 10 мин = 600 с (см.табл. 15), ln2 = 0.693, t = 6 ч = 2.1610⁴ с,  = 2710^-3 кг/моль:

Бк ,

Бк .

№ 634

-частица находится в одномерном потенциальном ящике¹. Используя соотношение неопределенностей, оценить ширину l одномерного ящика, если известно, что минимальная энергия -частицы E_min = 8 эВ.

№ 655

Указать (с учетом принципа Паули), какое максимальное число электронов в атоме может иметь следующие одинаковые квантовые числа: 1) n, 2) n, l, m_l.

1 Имеется в виду бесконечно глубокий, одномерный, прямоугольный потенциальный ящик