- •Розділ I. Лінійна алгебра
- •§1. Матриці. Різновиди матриць. Дії над матрицями
- •Дії над матрицями
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§ 2. Визначники, їх властивості.
- •Властивості визначників
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§3. Обернена матриця
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§4. Розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими за допомогою оберненої матриці та за правилом Крамера
- •Матричний метод
- •Метод Крамера
- •Завдання для самостійного розв’язування.
- •§5. Ранг матриці і його обчислення
- •Методом елементарних перетворень
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§6. Дослідження і розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими
- •Розв’язування систем m лінійних рівнянь з n невідомими методом Жордана-Гаусса
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Розділ іі. Аналітична геометрія
- •§1. Метод координат
- •§2. Елементи векторної алгебри
- •Основні означення
- •§3. Дії над векторами
- •Умова колінеарності
- •Скалярний добуток
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§4. Найпростіші задачі аналітичної геометрії
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§5. Рівняння лінії
- •§6. Пряма лінія
- •Дослідження загального рівняння прямої
- •Рівняння прямої, що проходить через дану точку паралельно даному вектору (канонічне рівняння прямої)
- •Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки
- •Рівняння прямої у відрізках на осях
- •Відстань від точки до прямої
- •Кутовий коефіцієнт прямої. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
- •Взаємне розташування двох прямих. Умова паралельності та перпендикулярності прямих
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§7. Перетворення системи координат
- •Паралельне перенесення
- •2. Поворот координатних осей
- •§8. Криві іі порядку
- •Характеристична властивість точок еліпса
- •Характеристична властивість точок м(х; у) гіперболи
- •Рівнобічна гіпербола
- •Характеристична властивість точок параболи (геометричне означення параболи).
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Відповіді:
Характеристична властивість точок еліпса
Сума відстаней від будь–якої точки еліпса до двох даних точок – фокусів (або сума фокальних радіусів , ) є величина стала, яка дорівнює великій осі еліпса, тобто .
Зауваження. Характеристичну властивість точок еліпса можна прийняти за його геометричне означення.
Зазначимо, що у попередньому конкретному прикладі маємо саме такий випадок (; ; – одного знака), тому рівняння зводиться до такого нормального рівняння еліпса:
або .
О
y x
= 5
x 0
1 В1
2,8 2,8 y = –1,5
А1 А2
1 2,6 2,6 0' F1 F2
Рис.2 В2
|
б) у випадку – еліпс, витягнутий вздовж осі .
Наприклад: ; еліпс;
; ; ; ;
; ;
– нормальне рівняння еліпса (рис.3)
1,4 1,4 1,7 1,7 1 х y 0 х = –1 F1 F2 Рис.3 |
Параметри: центр ; – мала, а – велика півосі; відстань від центра до фокусів ; ексцентриситет . |
в) у випадку еліпс перетворюється в коло з центром радіуса .
Наприклад:
нормальне рівняння кола. (рис.4) Параметри: центр ; радіус . |
y
y = 2
x 0
x = 4 Рис.4 |
2. Якщо в рівнянні (8.2) і – різних знаків, то немає точок площини, координати яких задовольняли б рівняння. У цьому випадку кажуть, що рівняння визначає уявний еліпс.
Наприклад: ; еліпс.
; ;
; ;
; .
Дістали рівняння, ліва частина якого набуває при будь–яких тільки невід’ємних значень. Отже, рівняння визначає порожню множину точок – уявний еліпс.
3. Якщо , то рівняння (8.2) набуває вигляду:
,
і визначає єдину точку – вироджений еліпс.
ІІ. Гіперболічний випадок .
Аналогічно еліптичному випадку загальне рівняння (8.1) приводиться до вигляду (8.2):
.
1. Якщо , то, поділивши обидві частини рівняння (8.2) на або (–), дістанемо одне із двох рівнянь:
– нормальні рівняння гіперболи.
Можна показати, що ці рівняння визначають на площині:
а) – гіперболу з дійсною віссю, вершинами і фокусами – на прямій (див. рис.5)
y
M (x, y)
B1
b
F2 F1 O’ y = y0
A1 A2 a a
b
B2
x
0 x = x0
Рис.5 |
Параметри: центр ; – дійсна, – уявна півосі; вершини ; фокуси знаходяться на прямій на відстані від центра ; ексцентриситет – відношення міжфокусної відстані до дійсної осі – , який для гіперболи ; асимптоти – прямі (діагоналі так званого „основного прямокутника”), що визначаються рівняннями .
Нагадаємо, що пряма є асимптотою лінії , якщо при прямуванні точки по лінії у нескінченність відстань від цієї точки до асимптоти прямує до нуля.