- •Розділ I. Лінійна алгебра
- •§1. Матриці. Різновиди матриць. Дії над матрицями
- •Дії над матрицями
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§ 2. Визначники, їх властивості.
- •Властивості визначників
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§3. Обернена матриця
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§4. Розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими за допомогою оберненої матриці та за правилом Крамера
- •Матричний метод
- •Метод Крамера
- •Завдання для самостійного розв’язування.
- •§5. Ранг матриці і його обчислення
- •Методом елементарних перетворень
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§6. Дослідження і розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими
- •Розв’язування систем m лінійних рівнянь з n невідомими методом Жордана-Гаусса
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Розділ іі. Аналітична геометрія
- •§1. Метод координат
- •§2. Елементи векторної алгебри
- •Основні означення
- •§3. Дії над векторами
- •Умова колінеарності
- •Скалярний добуток
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§4. Найпростіші задачі аналітичної геометрії
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§5. Рівняння лінії
- •§6. Пряма лінія
- •Дослідження загального рівняння прямої
- •Рівняння прямої, що проходить через дану точку паралельно даному вектору (канонічне рівняння прямої)
- •Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки
- •Рівняння прямої у відрізках на осях
- •Відстань від точки до прямої
- •Кутовий коефіцієнт прямої. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
- •Взаємне розташування двох прямих. Умова паралельності та перпендикулярності прямих
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§7. Перетворення системи координат
- •Паралельне перенесення
- •2. Поворот координатних осей
- •§8. Криві іі порядку
- •Характеристична властивість точок еліпса
- •Характеристична властивість точок м(х; у) гіперболи
- •Рівнобічна гіпербола
- •Характеристична властивість точок параболи (геометричне означення параболи).
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Відповіді:
Умова колінеарності
З означення дії множення вектора на число випливає умова колінеарності векторів:
Для того щоб вектори і були колінеарними, необхідно і достатньо, щоб їх координати були пропорційними, тобто .
Приклад: а) Чи колінеарні вектори і ?
б) Знайти , якщо і - колінеарні.
Розв’язування:
а) Оскільки , то .
б) ; .
Скалярний добуток
Скалярний добуток векторів і – це число, яке дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними, тобто
Скалярний добуток векторів і дорівнює сумі добутків їх відповідних координат, тобто
З означення скалярного добутку векторів випливає, що:
-
Довжина вектора дорівнює кореню квадратному із скалярного квадрата вектора, тобто
В алгебраїчній формі довжина вектора дорівнює кореню квадратному із суми квадратів його координат, тобто
2. Косинус кута між векторами обчислюється за формулою:
, або .
3. Вектори і перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю, тобто
або .
Приклад:
а) Знайти скалярний добуток векторів і , якщо , .
б) Знайти довжину вектора .
в) Знайти кут між векторами і
г) Чи перпендикулярні вектори і .
д) Знайти , якщо і – перпендикулярні.
Розв’язування:
а) .
б) .
в) .
г) Знайдемо Оскільки , то .
д) . Звідси .
Завдання для самостійного розв’язування
3.1. Задані вектори і .
Знайти: а) ;
б) ;
в) ;
г) ; .
3.2. Знайти , якщо вектори і – колінеарні.
-
Знайти , якщо вектори і –перпендикулярні.
Відповіді: 3.1. а) ;
б) ;
в) ;
г) ; .
3.2. .
3.3. .
§4. Найпростіші задачі аналітичної геометрії
Задача 1. Обчислення координат вектора.
Знайти координати вектора , якщо відомі координати його початку і кінця .
Розв’язування.
y A B
0 x |
Оскільки , , , то: . |
Таким чином, щоб знайти координати вектора, треба від координат кінця відняти відповідні координати початку.
Приклад:
, . Тоді: .
Задача 2. Відстань між двома точками.
Знайти відстань між двома точками площини, якщо відомі координати точок і .
Розв’язування.
Оскільки відстань між двома точками і є довжиною вектора
, то
.
Приклад:
, . Тоді:
.
Задача 3. Поділ відрізка в заданому відношенні.
Знайти координати точки , яка ділить відрізок у відношенні , тобто: .
Розв’язування.
y x |
Нехай задані координати точок і . Знайдемо координати точки . Розглянемо вектори:
. |
Оскільки , то .
Звідси: ,
, . Аналогічно: .
Зауваження:
-
У формулах треба розрізняти координати початку та кінця відрізка.
-
Координати середини відрізка дорівнюють півсумі відповідних координат його кінців. Дійсно, , і
, .
Приклад. Знайти координати точки перетину медіан трикутника, якщо координати його вершин , , .
Розв’язування.
Медіана трикутника – це відрізок, який з’єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони.
Якщо обрати вершину , то точка – середина протилежної сторони і має координати:
, .
Тобто .
Відомо, що точка перетину медіан ділить кожну з них у відношенні , починаючи з вершини.
Тобто: .
Тому .
Аналогічно: .
Отже, .
Зауваження: точку перетину медіан можна знайти за формулою:
; .
Доведіть самостійно.