Характеристична властивість точок параболи (геометричне означення параболи).

Будь–яка точка параболи рівновіддалена від фокуса і директриси.

2. Якщо в загальному рівнянні (8.1): , і коефіцієнт при , то, аналогічно попередньому, рівняння зводиться до одного із двох нормальних рівнянь парабол, схематично зображених на рис.13:

y x 0 O’ y = y0 Рис.13

Параметри аналогічні попередньому зі змінами: вітки симетричні відносно осі – прямої і направлені вгору або вниз; директриси – прямі та . Висновок: Графіком квадратичної функції , є парабола (випадок 2).

x = x₀

Наприклад. Побудувати графік функції .

Маємо загальне рівняння (8.1):

; (параболічний випадок)

і коефіцієнт при . Приведемо до нормального рівняння:

; ;

; ;

;

– парабола.

х=1

П y араметри: вершина ; вісь – пряма ; вітки вниз; директриса–пряма; параметр . Схематично графік зображено на рис.14.

Рис.14 у= -4

3. Якщо в загальному рівнянні (8.1) в явному вигляді є тільки одна змінна, тобто або , то рівняння визначатиме, залежно від дискримінанта квадратних тричленів:

а) якщо дискримінант більший від нуля, то дві прямі; а якщо дискримінант дорівнює нулю, то одну пряму (вироджену параболу);

б) уявну параболу, якщо дискримінант від’ємний (порожню множину точок площини).

Наприклад:

а)

;

Дане рівняння визначає на площині дві паралельні прямі

у х=3 х

б)

. Дане рівняння визначає на площині порожню множину точок.

Завдання для самостійного розв’язування

Привести рівняння другого порядку до нормального вигляду і описати параметри кривих:

8.1.

8.2.

8.3.

8.4.

8.5.

8.6.

8.7. .

8.8.

8.9.

8.10.

8.11.

8.12.

Відповіді:

8.1. – еліпс.

Параметри: центр , .

8.2. – еліпс.

Параметри: центр ,

8.3. – коло.

Параметри: центр .

8.4. – гіпербола.

Параметри: центр , .

8.5. – гіпербола.

Параметри: центр , .

8.6. – дві прямі і , які перетинаються в точці .

8.7. – парабола.

Параметри: вершина , вісь симетрії – пряма , вітки направлені вправо, . Рівняння директриси .

8.8. – парабола.

Параметри: вершина , вісь симетрії – пряма , вітки направлені вліво, . Рівняння директриси.

8.9. – парабола.

Параметри: вершина , вісь симетрії – пряма , вітки направлені вгору, . Рівняння директриси.

8.10. – точка (вироджений еліпс).

8.11. – уявний еліпс.

8.12. – пряма (вироджена парабола).

55