Лекция 4. Предел функции одной переменной План

1. Определение предела функции по Коши и по Гейне. Геометрический смысл предела функции в точке

2. Предел функции и арифметические операции

3. Критерий существования предела функции

4. Односторонние пределы функции одной переменной

5. Односторонние пределы монотонной функции

1. Определение предела функции по Коши и по Гейне. Геометрический смысл предела функции в точке

Пусть функция _{определена на интервале со значениями в :}

_.

_{Точка .}

_{Определение 1 (предела функции по Коши). Говорят, что число} является пределом функции _{в точке (когда ) и обозначают:}

_{, (1)}

_{если для такое, что для имеет место неравенство:}

_{. (3)}

_{Если функция имеет предел в точке , говорят, что функция является сходящейся в точке или стремится к} , когда _{. Это можно обозначать не только в виде (1), а и следующим образом:}

_.

Геометрический смысл предела функции состоит в следующем. Если в неравенстве (3) убрать модуль, оно будет иметь вид:

_{, (4)}

откуда видно, что _{определяет произвольную окрестность} : _{, в которой находятся все значения функции , для которых (неравенство (2)), т.е. . Иначе говоря, число} является пределом функции _{, когда , если для любой -окрестности числа} найдется такая _{-окрестность точки} , что для любого аргумента _{функции из этой -окрестности соответствующие значения функции оказываются в -окрестности (или в -коридоре) числа} (рис.1).

_{Для поведения функции в точке возможны два варианта:}

• Значение _{может совпадать со значением предела} (рис.2);

• _{функция в точке может быть вообще неопределенной (рис.3); или з}начение _{не совпадает со значением предела} (именно такой случай изображен на рис.1).

Рис.1.

Рис.2.

Рис. 3.

Таким образом, для существования предела функции _{в точке не важно поведение функции в самой точке (об этом свидетельствует левая часть неравенства (2): , которая означает, что рассматриваются такие аргументы функции , для которых ). Функция вообще там может быть неопределенной, а предел будет существовать.}

_{Пример. Пусть (рис.4). Показать, что для : . Для того, чтобы решить поставленную задачу, надо показать, что для (надо получить формулу, которая выражает через ) такое, что для выполняется неравенство:}

_{. (5)}

_{Иначе говоря, нам надо из неравенства (5) получить неравенство для оценки . Для этого рассмотрим (5) детально:}

_{. (6)}

_{Если левая часть (6) будет менше , т.е. как только , то неравенство (5) будет выполняться автоматически:}

_.

_{Таким образом понятно, что если в качестве взять просто , т.е. , то для аргументов функции из этой -окрестности точки будет выполняться (5). Поскольку - произвольное, то задача решена.}

_Пример. _{Пусть . Показать, что .}

_{В этом случае . Для того, чтобы решить поставленную задачу, надо показать, что для (надо получить формулу, которая выражает через ) такое, что для выполняется неравенство:}

_{. (7)}

_{Иначе говоря, неравенство (7) надо решить относительно , получить для оценку сверху:}

_{. (8)}

_{Из (8) следует, что если , т.е. , то и (7) будет выполняться.}

_{Определение 2. Число} не является пределом функции _{, когда , если такое, что для выполняется неравенство:}

_.

_{Задание. Выяснить, в чем состоит геометрический смысл того, что .}

_{Задание. Показать, что для функции в точке предела не существует.}

_{Определение 3 (предела функции по Гейне). Говорят, что число} является пределом функции _{в точке , если для любой последовательности аргументов , для которой выполняются условия:}

_{1) для} ;

2)

_{соответствующая последовательность значений функции является сходящейся и .}

_{Теорема 1. Определения 1 и 3 предела функции эквивалентны, т.е. если по Коши, то и по Гейне, и наоборот. (без доказательства).}

_{Теорема 2. Если предел функции в точке существует, то он единственный. (без доказательства).}

_{Следствие. Пусть для функции построены две последовательности аргументов: и , для которых выполняются условия определения 3, те.е. для} , и _{, . При этом соответствующие последовательности значений функции і такие, что , а , и . Тогда функция не имеет предела в точке .}

_{Задание. Пользуясь следствием из предыдущей теоремы, доказать, что не имеет предела в точке .}