- •Лекция 4. Предел функции одной переменной План
- •1. Определение предела функции по Коши и по Гейне. Геометрический смысл предела функции в точке
- •2. Предел функции и арифметические операции
- •3. Критерий существования предела функции
- •4. Односторонние пределы функции одной переменной
- •5. Односторонние пределы монотонной функции
- •Вопросы
2. Предел функции и арифметические операции
Теорема 3. Пусть для функций и : , . Тогда
-
;
-
;
-
.
Доказательство теоремы вытекает из аналогичной теоремы для последовательностей и определения предела функции по Гейне. Докажем для примера пункт 2.
Поскольку по условию теоремы , , то по определению предела функции по Гейне это будет означать, что для , для которой выполняются условия:
1) для ;
2)
соответствующие последовательности значений функции и являются сходящимися и , а . Поскольку и - сходящиеся, то по теореме 6 лекции 2 последовательность также будет сходящейся и .
Мы получили, что для , для которой выполняются условия 1,2, соответствующая последовательность значений является сходящейся и . По определению предела функции по Гейне из этого вытекает, что , что и нужно было доказать.
3. Критерий существования предела функции
Определение 4. Говорят, что функция удовлетворяет условию Коши в точке , если для такое, что для выполняется неравенство:
.
Геометрически условие Коши для в точке означает, что каким бы малым не было число , всегда можно найти такую окрестность точки , что для аргументов из этой окрестности расстояние между соответствующими значениями функции будет меньше .
Условие Коши для функции в точке является аналогом фундаментальности для числовой последовательности.
Теорема 4 (критерий Коши сходимости функции в точке). Для того, чтобы функция имела предел в точке , необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши в этой точке. (без доказательства).
4. Односторонние пределы функции одной переменной
Пусть .
Определение 5. Правой (левой) полуокрестностью точки называется интервал (), где .
Пусть функция определена в некоторой правой полуокрестности точки .
Определение 6. Число называется пределом функции в точке справа (или правосторонним пределом) и обозначается
,
если для такое, что для выполняется неравенство:
.
Определение 7. Число называется пределом функции в точке слева (или левосторонним пределом) и обозначается
,
если для такое, что для выполняется неравенство:
.
Левосторонний и правосторонний предел вместе называют односторонними пределами.
Если , то в обозначении односторонних пределов пишут не , , а
, .
Пример. Пусть . Найти односторонние пределы функции в точке .
При вычислении левостороннего (правостороннего) предела в точке поведение функции, ее значения, ее формула рассматриваются слева (справа) от .
Начнем с правостороннего предела. Любая правосторонняя окрестность точки содержит в себе только положительные значения , для которых , а , тогда
,
поскольку предел постоянной, независимо от того, куда стремится , равняется ей самой.
Любая левосторонняя окрестность точки содержит в себе только отрицательные значения , для которых , а , тогда
.
Полученные односторонние пределы имеют разные значения. График функции представлен на рис.5. Понятно, что не существует.
Теорема 5 (критерий существования предела функции). Для того, чтобы функция имела предел в точке необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали оба односторонних предела, и они были равны.
Доказательство. Необходимость. Пусть существует . По определению предела функции по Коши это означает, что для такое, что для выполняется неравенство: . Условие (**)выполняется тогда, когда выполняется условие (*). Условие (*) означает, что , т.е. , может находиться как справа (условие (**) выполняется), так и слева (условие (**) выполняется) от , (рис.6).
Рис.6.
Выполнение (**), когда , свидетельствует по определению, что , а выполнение (**), когда , свидетельствует по определению, что , что и нужно было доказать.
Достаточность. Пусть существуют . Из существования правостороннего предела по определению 6 вытекает, что для такое, что для выполняется неравенство:
.
Из существования левостороннего предела по определению 7 вытекает, что для такое, что для выполняется то же самое неравенство:
.
Обозначим: . Если удовлетворяет условию: , то он обязательно окажется или в правой, или в левой определенных выше полуокрестностях точки , а потому будет иметь место неравенство . Таким образом,
для , что будет выполняться: , а это означает, что , что и нужно было доказать.
Пример. Выяснить, имеет ли предел в точке функция (график представлен на рис.6).
Найдем односторонние пределы функции в точке :
.
Поскольку
,
то по предыдущей теореме
.
Пример. Выяснить, имеет ли предел в точке функция .
Начнем с вычисления правостороннего предела:
.
Поскольку правосторонний предел функции в точке не существует, то по предыдущей теореме не существует и .