1. Кинематика материальной точки

Механика изучает законы движения материальных объектов и те причины, которые вызывают или изменяют это движение. Кинематика - это первый раздел механики, в котором дается математическое описание движения безотносительно к причинам, обусловившим это движение. Основные законы механики установлены для физических моделей, к которым относятся материальная точка и абсолютно твердое тело. Материальная точка – это такое тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, жестко связанных между собой.

Кинематические задачи имеют важное значение в таких сферах, как транспорт, ракетно-космическая отрасль, артиллерия и других.

1.1. Описание положения материальной точки в пространстве

Л

Рис.1.1

юбое механическое движение относительно. Поэтому, для определения положения материальной точки в пространстве и аналитического описания ее движения необходимо выбрать систему отсчета. Система отсчета представляет собой систему координат, снабженную часами и жестко связанную с телом отсчета, по отношению к которому определяется положение других тел в различные моменты времени. Наиболее часто используется правая прямоугольная декартовая система координат, в которой ориентация орт и совпадает с взаимной ориентацией трех пальцев правой руки – большого, указательного и среднего, когда они расположены взаимно перпендикулярно (рис.1.1).

Положение точки М относительно этой системы координат будет однозначно определено, если будут заданы ее координаты x, y и z. Вместо трех скалярных величин положение точки может быть задано одной векторной - , радиус-вектором, проведенным из начала координат в точку М. Координаты x, y и z являются проекциями радиус-вектора на координатные оси

. (1.1)

Модуль вектора равен

. (1.2)

При движении материальной точки ее положение относительно выбранной системы отсчета, а следовательно, ее радиус-вектор и координаты с течением времени изменяются. Поэтому в общем случае ее движение будет однозначно определено заданием трех скалярных уравнений

(1.3)

либо эквивалентного им одного векторного уравнения

. (1.4)

Эти уравнения называются кинематическими уравнениями движения материальной точки. Решая уравнения (1.3) совместно и исключая параметр t, можно получить уравнение траектории движения материальной точки, т.е. линии, вдоль которой перемещается конец радиус-вектора.

В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движение точки. При одномерном движении траектория представляет собой прямую линию, определяемую осью координат. Если траектория точки целиком лежит в одной плоскости, то движение называют плоским (двумерным). В общем случае траектория точки представляет собой пространственную кривую. Например, пусть кинематические уравнения движения заданы в форме

,

где .

Решение данной системы уравнений дает уравнение траектории точки

,

т.е. точка движется в плоскости z=0 по эллиптической траектории.

Итак, мы можем сказать, что положение материальной точки полностью определяется векторной величиной и основной задачей кинематики точки является нахождение закономерностей, определяющих ее изменение со временем.