Производные элементарных функций

функция	производная	функция	производная

Элементы интегрального исчисления

Понятие об интеграле. Пусть задана функция и надо найти площадь «криволинейной трапеции» аАBb. Разобьем площадь под кривой на n частей и построим ступенчатую фигуру, показанную штриховкой на рис.П1.10. Предел суммы площадей «прямоугольных ступенек» при и есть интеграл. Обозначение

Рис.П1.10

Таким образом геометрический смысл определенного интеграла – площадь фигуры ограниченной ординатами графика . Механический смысл – путь материальной точки: ; работа силы: . Кроме того с помощью определенного интеграла можно вычислить массу, момент инерции и т.п.

Функция называется первообразной от функции , если выполняется равенство

.

Вычисление интеграла сводится к нахождению функции по данному выражению ее дифференциала.

Неопределенным интегралом данной функции называется наиболее общий вид его первообразной функции.

,

где С – постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий. Если известно, что при данном значении аргумента функция принимает значение , то С находится из соотношения

.

Свойства неопределенного интеграла:

• знак дифференциала перед знаком интеграла уничтожает последний:

• постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

• интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов:

Таблица П1.2 Первообразные элементарных функций

интеграл	первообразная	интеграл	первообразная
	^,

Продолжение табл. П1.2

Используя свойства неопределенного интеграла, можно в ряде случаев свести интегрирование к табличным формулам.

При интегрировании способом подстановки вместо переменной x вводят вспомогательную переменную z=z(x). Тогда подынтегральное выражение преобразуется в более простой вид, что облегчает интегрирование

.

Пример: .

Введем переменную

z = 2x - 1,

дифференцируя, получаем

dz=2dx, откуда dx=dz/2.

Тогда подынтегральное выражение примет вид

.

Возвращаясь к переменной x, находим:

Интегрированием по частям называется сведение данного интеграла к интегралу с помощью формулы

.

Примеры:

1) .

Представляем подынтегральное выражение в виде . Здесь роль играет , роль - функция . Тогда

2)

Подынтегральную функцию представим в виде (здесь , ), это дает

=

Для вычисления интегралов вида

,

удобно пользоваться формулами

, .

Пример: =

Разложение элементарных функций в степенные ряды

Для разложения функции f(x) в ряд, расположенный по степеням используют ряд Тейлора

++…+…

Ниже даны разложения простейших функций по степеням х:

Многие интегралы, не выражающиеся через элементарные функции, можно представить в виде рядов.

Понятие градиента потенциала

Градиент некоторой физической величины U – это вектор, совпадающий с нормалью к поверхности одинакового значения U(x,y,z), направленный в сторону его возрастания и имеющий величину (рис.9) .

В декартовой системе

,

где оператор Гамильтона (Набла ).