Приложение 1.

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ

ИСЧИСЛЕНИЕ

Некоторые сведения о векторах

В

Рис.П1.1

Рис.П1.2

екторной величиной, или вектором, называется всякая величина, обладающая направлением. Векторную величину можно полностью охарактеризовать направленным отрезком, предварительно задав линейный масштаб. Например, направленный отрезок АВ при заданном масштабе, характеризует силу в 4 Н, направление которой совпадает с направлением АВ, указанным стрелкой (рис.П1.1).

Вектор, началом которого служит точка А, а концом точка В, обозначается . Вектор обозначается также одной буквой. Эту букву печатают жирным шрифтом (а), или ставят над буквой стрелку () (рис.П1.2).

Длина вектора называется также его модулем. Обозначается: или АВ, или а. Модуль есть скалярная величина. Если начало и конец вектора совпадают, то отрезок АВ обращается в точку и теряет направление. Этот особый вектор называется нуль-вектором.

Рис. П1.3

Два ненулевых вектора и называются равными, если они равнонаправлены и имеют один и тот же модуль= (рис.П1.3). Два вектора, имеющие равные модули и противоположно направленные, называются противоположными=(рис.П1.3).

С

Рис. П1.4

уммой двух векторов и называется третий вектор =+, получаемый следующим построением («правило треугольника»): совмещаем начало вектора с концом вектора . Вектор, проведенный из начала вектора в конец вектора и есть искомый вектор (рис.П1.4). Сумма противоположных векторов равна нуль-вектору.

«

Рис.П1.5

Правило параллелограмма». Суммарный вектор =+ можно получить следующим построением: совместив начала векторов и , достраиваем параллелограмм. Вектор, проведенный из общего начала вдоль диагонали и будет искомым вектором (рис.П1.5).

Суммой нескольких векторов , называется вектор, получающийся после последовательных сложений.

Вычесть вектор (вычитаемое) из вектора (уменьшаемое) значит найти построением новый вектор (разность), который в сумме с вектором дает вектор . Т.е. вычитание векторов есть действие обратное сложению.

Геометрической проекцией вектора на координатную ось называется вектор, полученный с помощью перпендикуляров, опущенных из начала и конца вектора на соответствующую координатную ось (рис.П1.6). В трехмерном пространстве это будут три проекции , причем их векторная сумма равна самому вектору .

Ч

Рис.П1.6

ерез базисные вектора , задающих направление координатных осей:

,

где - алгебраические проекции вектора на координатные оси, или координаты вектора (можно обозначать также через x, y, z).

Координаты вектора можно определить через углы между направлением вектора и соответствующими осями координат

Кроме того всякий вектор можно представить в виде

,

г

Рис.П1.7

де а - модуль вектора, - единичный вектор или орт вектора . Орты можно сопоставлять любым направлениям в пространстве. Например, - орт нормали к кривой или поверхности, - орт касательной к кривой и т.д.

Выражение вектора через радиусы-векторы его начала и конца (рис.П1.7)

.

Если координаты векторов и , соответственно и , то координаты вектора находятся как разница между соответствующими координатами конца и начала

.

Длина вектора выражается через его координаты формулой

.