8.3. Примеры решения задач

1. На столе стоит цилиндрический сосуд высоты H, наполненный доверху водой. Пренебрегая вязкостью воды, определить высоту h, на которой нужно сделать в сосуде небольшое отверстие, чтобы вытекающая из него струя попадала на стол на наибольшем удалении от сосуда.

Решение

Выделим в жидкости трубку тока, ограниченную с одной стороны открытой поверхностью жидкости в сосуде, а с другой стороны – сечением отверстия (обозначена пунктиром на рис.8.5). Давления в обоих сечениях одинаковы, поскольку равны атмосферному давлению. Кроме того, скорость перемещения открытой поверхности в широком сосуде можно положить равной нулю. С учетом представленных на рис.8.5 обозначений, уравнение Бернулли примет вид

Рис.8.5.

.

Сократив на , найдем скорость истечения жидкости из отверстия

.

Теперь составим кинематические уравнения для движения частиц жидкости в поле силы тяжести

и .

Решение уравнений дает

.

Для нахождения значения y, при котором величина x имеет максимальное значение, приравняем нулю производную

.

В результате получим .

2. В сосуде с глицерином падает с постоянной скоростью свинцовый шарик. Плотность свинца ρ₁=11,3 г/см³, плотность глицерина ρ₂=1,26 г/см³, его динамическая вязкость η=1,48 Па·с. Определить максимальное значение диаметра шарика, при котором движение слоев жидкости, вызванное падением шарика, является еще ламинарным. Критическое значение числа Рейнольдса

Решение

Характер течения слоев жидкости, прилипших к шарику, определяется безразмерным числом Рейнольдса

.

На шарик, падающий в жидкости, действуют три силы:

1) сила тяжести ;

2) выталкивающая сила Архимеда ;

3) сила внутреннего трения, определяемая по формуле Стокса, .

При установившемся движении шарика () сила тяжести уравновешивается выталкивающей силой и силой внутреннего трения, т.е.

,

отсюда .

Подставляя полученное выражение для скорости в формулу Рейнольдса, найдем

.

Произведя вычисления, получим

мм.

3. По горизонтальной трубе переменного сечения течет вода. Площади поперечных сечений трубы на разных ее участках соответственно равны S₁=10 см² и S₂=20 см². Разность уровней воды в манометрических трубках составляет 20 см (рис.8.6). Определить массовый расход воды через сечение трубы. Вязкостью воды пренебречь.

Решение

Массовый расход воды – это масса воды, протекающей через сечение трубы за единицу времени,

,

где - плотность воды, - скорость течения через сечение .

При стационарном течении идеальной жидкости выполняются уравнение неразрывности

,

и уравнение Бернулли для горизонтальной трубы ()

,

где и - статические давления в различных сечениях.

Учитывая, что

,

решая систему полученных уравнений, найдем

.

П

Рис.8.6

одставляя данное выражение в формулу для массового расхода воды, получим

.

Вычисления дают

Q=2,3 кг.