§ III.10.4. Взаимодействие проводников. Действие магнитного поля на проводники с токами

1°. Сила Ампера (III.10.1.4°), описывающая действие на элементарный участок длинойdl прямолинейного проводника с токомI₁со стороны длинного прямолинейного проводника с токомI₂, расположенного параллельно первому на расстоянииaот него, численно равна:

(в СИ),

(в гауссовой системе),

где μ₀– магнитная постоянная в СИ (III.10.2.2°),c– электродинамическая постоянная (III.10.2.2°). СилаdFявляется силой магнитного взаимодействия (III.11.1.4°).

Предполагается, что длины проводников во много раз больше расстояния aмежду ними, а элементdlнаходится вдали от концов первого проводника. Кроме того, считается, что проводники находятся в однородной, изотропной среде с относительной магнитной проницаемостьюμ.

Сила F, описывающая действие магнитного поля на проводник конечной длиныlс током,

(в СИ),

(в гауссовой системе).

Проводники с одинаково направленными токами I₁иI₂притягиваются, а проводники с противоположно направленными токами отталкиваются друг от друга (см. также III.11.1.4°).

2°. На плоский замкнутый проводящий контур с током произвольной геометрической формы, помещенный в однородное магнитное поле (III.10.1.2°), магнитное поле действует с вращающим моментом силM, равным:

,

где p_m– вектор магнитного момента контура с током (III.10.3.4°),B– вектор магнитной индукции поля (III.10.1.2°). Вращающий момент направлен перпендикулярно к плоскости, образованной векторамиp_mиB, таким образом, чтобы из концаMкратчайшее вращение отp_m кBпроисходило против часовой стрелки. Вращающий момент стремится привести контур в положение устойчивого равновесия, при котором векторыp_mиBориентированы параллельно друг другу.

Из предыдущей формулы может быть дано определение магнитной индукции B(III.10.1.2°): модуль вектора магнитной индукции в данной точке однородного магнитного поля равен наибольшему значению момента силM_макс, с которым магнитное поле действует в окрестности этой точки на малый плоский замкнутый контур с током, характеризуемый единичным по модулю магнитным моментомр_т:

(в СИ),

(в гауссовой системе).

3°. Если замкнутый контур с током помещен в неоднородное магнитное поле (III.10.1.3°), в котором индукция магнитного поляBизменяется на расстояниях, сравнимых с линейными размерами контура, то поле действует на контур с силойF, равной:

,

где p_mx,p_my,p_mz– проекции вектораp_mна оси декартовой системы координат. В частности, если вектор B направлен по осиОХи зависит только от координатых(B_x=B(x),B_y=B_z= 0; B =B_xi), то

.

Под действием магнитного поля незакрепленный контур с током втягивается в область более сильного поля.

§ III.10.5. Закон полного тока. Магнитные цепи

1°.Циркуляцией вектораBмагнитной индукции вдоль замкнутого контураLназывается интеграл:

,

где L– замкнутый контур произвольной формы,dl– вектор элементарной длины контура, направленный вдоль обхода контура.

2°.Закон полного тока для магнитного поля в вакууме: циркуляция вектора индукции магнитного поля вдоль замкнутого контура в вакууме пропорциональна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром:

(в СИ),

(в гауссовой системе),

где μ₀– магнитная постоянная (в СИ) (III.10.2.2°),c– электродинамическая постоянная (III.10.2.2°),п– число проводников с токами, охватываемых контуром. Закон справедлив для проводников с токами любой формы и любых размеров.

При вычислении алгебраической суммы токов ток считается положительным, если из конца вектора плотности тока (III.7.2.3°) обход контура Lвиден происходящим против часовой стрелки. В противном случае ток считается отрицательным.

Обобщение закона полного тока для магнитного поля Bв произвольной среде см. III.13.4.2°.

3°. В отличие от электростатического потенциального поля, в котором циркуляция напряженностиEвдоль любого замкнутого контура равна нулю (III.3.1.4°), магнитное поле являетсявихревым(вихревое магнитное поле). В таком поле циркуляция вектора B индукции магнитного поля вдоль замкнутого контура отлична от нуля. Если контурLне охватывает токов, то циркуляция вектораBвдоль этого контура равна нулю. Однако это не изменяет вихревого характера магнитного поля.

4°. Закон полного тока как для вакуума, так и для произвольной среды может быть записан в форме циркуляции вектора напряженностиH(III.10.2.3°) вдоль произвольного замкнутого контураL, охватывающего токи:

(в СИ),

(в гауссовой системе).

Если контур Lне охватывает токов, то циркуляция вектораHвдоль такого контура равна нулю.

5°.Потоком вектораBмагнитной индукции(магнитным потоком) сквозь малую поверхность площадьюdSназывается скалярная физическая величина, равная:

,

гдеdS–ndS,n– единичный вектор нормали кdS,В_n– проекция вектораBна направление нормали (рис. III.10.9). Магнитный потокΦ_mсквозь произвольную поверхностьS:

.

При вычислении этого интеграла векторы nнормалей к площадкамdSнужно направлять в одну и ту же сторону по отношению к поверхностиS. Так, если поверхностьSзамкнутая, то векторыnдолжны быть либо все внешние, либо все внутренние.

Если поле однородное, a S– плоская поверхность, расположенная перпендикулярно векторуB, тоB_n=B= const иΦ_m=BS.

6°.Теорема Остроградского-Гаусса для магнитного поля: магнитный поток сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю:

.

Эта теорема является математическим выражением того, что в природе отсутствуют магнитные заряды, на которых начинались бы или заканчивались линии магнитной индукции (III.10.1.3°).

Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса для магнитного поля является одним из уравнений Максвелла для электромагнитного поля (III.14.4.2°).

7°.Магнитной цепью называется совокупность тел или областей пространства, в которых локализовано магнитное поле. Например, внутренняя область тороида (III.10.3.6°) и бесконечно длинного соленоида (III.10.3.7°) являются магнитными цепями. Для усиления магнитного поля используются магнитные цепи, изготовленные из материалов, имеющих большую относительную магнитную проницаемостьμ(III.10.2.1°), например, железо. Расчет магнитных цепей, являющихся необходимой частью электрических машин и электрических устройств типа трансформаторов, электромагнитов и т. д., основывается на законах магнитных цепей.

8º.Закон Ома для замкнутой магнитной цепи(формула Гопкинсона):

,

где Φ_m– магнитный поток, постоянный вдоль каждого участка магнитной цепи,E_m= =IN–магнитодвижущая сила(намагничивающая сила) (в СИ),N– число витков намагничивающего магнитную цепь электрического токаI,R_m–полное магнитное сопротивление цепи. Магнитное сопротивление магнитной цепи длинойl_i

(в СИ),

где μ– относительная магнитная проницаемость данной цепи,μ₀– магнитная постоянная (в СИ) (III.10.2.2°),S– площадь поперечного сечения цепи. ЕслиS=const, то

(в СИ).

9°. Общее (полное) магнитное сопротивлениеR_mпри последовательном соединении участков магнитной цепи

,

где R_mi– магнитное сопротивлениеi-го участка магнитной цепи,n– число участков полной цепи.

При параллельном соединении nмагнитных сопротивлений полное магнитное сопротивлениеR_mцепи

.

10°.Узлом магнитной цепи называется область пространства или тел, где имеется более двух направлений линий магнитной индукции (III.10.1.3°).

Первое правило Кирхгофа для разветвленных магнитных цепей: алгебраическая сумма магнитных потоков участков цепи, сходящихся в узле, равна нулю:

,

где n– число участков, сходящихся в узле (ср. III.8.3.1°).

Магнитный поток считается положительным, если линии индукции входят в узел. Если линии индукции выходят из узла, то поток Φ_miсчитается отрицательным.

11°.Второе правило Кирхгофа для магнитных цепей: в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной магнитной цепи, алгебраическая сумма произведений магнитных потоков на магнитные сопротивления соответствующих участков цепи (п. 8°) равна алгебраической сумме магнитодвижущих сил в этом контуре (п. 8º):

,

где k– число участков, составляющих замкнутый контур (ср. III.8.3.2°). Φ_miиE_miсчитаются положительными, если направления соответствующих им линий индукции (III.10.1.3°) совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура.