4.6. Кiнетична енергiя релятивiстської частинки

Визначимо кiнетичну енергiю так, як i у класичнiй механiцi, а саме, як величину, прирощення якої дорiвнює роботi сили, що дiє на частинку.

(4.18)

Згiдно з рiвнянням (4.13)

,

де m — релятивiстська маса. Отже, враховуючи, що , a

де — проекцiя вектора на напрямок вектора (ця проекція дорiвнює — прирощенню модуля вектора швидкостi, тому () маємо

(4.19)

Пiднесемо формулу (4.11) до квадрата i перетворимо її до вигляду

(4.20)

Тепер знайдемо диференцiал цього виразу, маючи на увазi, що і c - постiйнi величини:

Подiливши вираз (4.21) на 2m, одержимо

c²dm=υ²dm+mυdυ (4.22)

Права частина виразу (4.22) збiгається з правою частиною виразу для кiнетичної енергiї (4.19).

Тож маємо записати

(4.23)

Таким чином, прирощення кiнетичної енергiї частинки пропорцiйне прирощенню її релятивiстської маси. Кiнетична енергiя нерухомої частинки дорiвнює нулю, а її маса дорiвнює . Отже, проiнтегрувавши вираз (4.23), маємо

(4.24)

або

(4.25)

Це i є вираз для релятивiстської кiнетичної енергії. Якщо υ«с, то має бути вираз для класичної кiнетичної енергії . Скористаємося формулою бiнома Ньютона, відповідно до якої

За умови υ«с можна обмежитися тiльки двома членами ряду i тодi вираз (4.25) перетвориться на

(4.26)

Таким чином, при υ«с вираз для релятивiстської кiнетичної енергiї (4.25) перетворюється на класичний вираз для кiнетичної енергії. Зазначимо, що аналогiчно до класичної механiки релятивiстську кiнетичну енергiю не можна подати у виглядi , де — релятивiстська маса частинки.

4.7. Взаємозв’язок маси I енергiї

Вiдповiдно до формули (4.23), прирощення кiнетичної енергiї частинки супроводжується пропорцiйним прирощення її релятивiстської маси. Ейнштейн узагальнив цей висновок. Повна енергiя тіла, з яких би видiв вона не складалася (кiнетичної, електричної, хiмiчної, ядерної тощо), пов’язана з масою цього тiла спiввiдношенням

. (4.27)

Ця формула виражає один iз найфундаментальнiших законiв природи — закон взаємозв’язку (пропорцiйностi) маси i повної енергiї тiла. Пiдкреслимо, що у формулу (4.27) до повної енергiї не входить потенцiальна енергiя тiла у зовнiшньому полi, якщо таке поле дiє на тiло.

Врахувавши вираз (4.24), спiввiдношенню (4.27) можна надати вигляду

, (4.28)

де маса спокою, а — кiнетична енергiя тiла. Звiдси бачимо, що тiло, яке перебуває у станi спокою (= 0 ), також має енергію тiла.

(4.29)

Її називають енергiєю спокою або власною енергією тіла. Отже, зробимо висновок, що маса тiла, що у ньютонiвськiй механiцi є мiрою iнертностi (другий закон Ньютона) або мiрою гравiтацiйного притягання (закон всесвiтнього тяжiння), у релятивiстськiй механiці виступає як мiра енерговмiщуваностi тіла, яке у станi спокою також має енергiю.

Наприкiнцi зазначимо, що вiдповiдно до спiввiдношення (4.27), змiна повної енергiї супроводжується змiною маси i навпаки: , звідси

(4.30)

За звичайних макроскопiчних процесів така змiна маси надто мала, щоб її зафiксувати. Однак в астрономiчних явищах вона являє собою значну величину. Так Сонце кожну секунду втрачає масу кг/с. Величина грандiозна з точки зору земних масштабiв, але порiвняно з масою Сонця така втрата маси мiзерно мала .