2.2.1.Ряди Фур’є.

Періодичні функції часто розкладають по гармонічному базису

, , де k=0,1,2… період, - кругова частота.

Розклад в гармонічні ряди періодичних сигналів доцільний оскільки:

1. гармонічні залежності електричних сигналів легко створюються.

2. гармонічний аналіз добре розвинутий.

3. гармонічне перетворення лінійне, тобто перетворення від суми функцій рівне сумі перетворених функцій.

Сигнал, представлений рядом Фур'є має вигляд

Причому

Цей же розклад можна представити:

косинусоїдальна форма запису ряду, де множина амплітуд n гармоніки, набір початкових фаз.

Цей же ряд можна представити в експоненціальній формі запису

де

причому , взагалі кажучи, - комплексні числа, комплексні коефіцієнти ряду Фур’є.

Експоненціальне представлення легко утворюється з косинусоїдальною допомогою формули Муавра і навпаки. Наприклад

Довільне можна представити як суму непарної та парної частин по n. Нехай описується виразом

. Тоді та такі, що і тоді

Вказані вище умови на - випливають при реалізації вимоги дійсності залежності

Дійсно

- комплекно спряжене

Тобто

якщо тобто

Це ж можна сформулювати так

Рівність дійсних частин для досягається якщо вимагати , , тобто виникають важливі співвідношення, що накладаються на коефіцієнти розкладу довільної функції, довільного сигналу по гармоніках , .

2.2.2.Спектральна діаграма та спектр періодичного сигналу.

Спектром сигналу називають сукупність гармонічних складових кратних частот, які характеризуються своїми амплітудами і початковими фазами, що при додаванні дають сигнал в довільний момент часу. Спектральна діаграмасигналу представляється графічним зображенням амплітуд кожної гармонікиряду Фур'є і відповідними початковими фазами.

В літературі часто називають амплітудним спектром, а називають фазовим спектром. Спектр періодичного сигналу дискретний.

Збільшення шпаруватості сигналу приводить до розширення його спектру і, відповідно, зменшенню амплітуди складових.

В залежності від форми сигналу, необхідно представляти їх різним чином членів ряду Фур'є. В залежності від можливості пристроїв прийому та декодіровки кількість членів розкладу в ряд Фур'є може бути значно зменшено.

Так в телеграфії, яка користується прямокутними імпульсами із крутими фронтами, виявляється, достатньо (з умовами роботи пристроїв!) трьох гармонік.

Для сигналів вводять також поняття коефіцієнта амплітуди та коефіцієнта форми.

—коеф. амплітуди

- коеф. форми

де , .

Для гармонічного коливання розраховуються на позитивному участку . Тоді та F=1,11

Для прямокутного сигналу

t

Тому .

Якщо ввести поняття шпаруватості , ,

то отримаємо: С=.

Ще раз відмітимо: взагалі кажучи довільний сигнал (окрім штучно утворених набором певних гармонік) має необмежений спектр. Однак завжди можна вказати спектральну смугу F (спектр знаходиться в інтервалі (0,F )) таку, що 95% всієї енергії знаходиться всередині даної смуги.