2.3 Спектральне представлення неперіодичних сигналів. Інтегральне представлення Фур'є
Неперіодичними
сигналами є сигнали значення періоду
яких може бути Т
.
Тоді дискретне представлення рядів
Фур’є неперіодичної функції неможливе.
Розглянемо неперіодичний (імпульсний) сигнал, часова залежність якого наступна
Періодично
сигнал продовжимо з будь-яким періодом
Т.
Ясно що
.
Тоді такий, тепер періодичний, сигнал
можна представити рядом Фур’є. Оскільки
—
то базова частота
при
і
переходить в відповідний інтеграл.
Для спектрального аналізу даної функції використовується інтегральне представлення Фур'є (інтеграл Фур'є).
U(t) – сигнал
де
-
називається комплексною спектральною
густиною U(t).
Аналогічно
комплексним
коефіцієнтом ряду Фур'є, для
можна
виділити дійну та уявну частини
-
дійсна частина, модуль комплексної
спектральної
густини.
-
фаза комплексної спектральної густини.
Функціональна
залежність
називається амплітудним
спектром.
- аргумент
,
а його залежність від (
)
називають фазовим
спектром.
За
визначенням
- парна функція частоти.
- непарна!!!
- дійсна
функція. Дійсно
Дійсність
функції
забезпечується відсутністю комплексної
частини це реалізується у випадку:
та
з очевидністю.
Як приклад, розглянемо амплітудний спектр дзвінкоподібного сигналу
тоді
де
інтеграл Пуассона (
).
Зауважимо, що протяжний, довгий імпульс має значно вужчий спектр ніж вузький. І вузькому спектру завжди відповідає широкий імпульс сигналу.
2.3.1.Фізична суть спектральної густини амплітуд.
Якщо порівняти дискретні розклади в ряд Фур’є та інтегральний розклад то можна помітити що:
- дискретне представлення
- нова
змінна
-
неперервне представлення.
Можна
замітити що при
,
верхній вираз переходить в нижній.
Легко замітити, що:
Отже
являється
обвідною спектру дискретних частот,
схожа на неї формою, але дещо відрізняється
норміровкою.
Розмірність спектральної густини амплітуд
.
Для чого необхідно знати спектральний склад сигналу?
Якщо
знати спектр сигналу можна завідомо
розробити приймачі, які будуть пропускати
лише дану смугу в каналі зв’язку.
Дійсно, якщо спектр сигналу знаходиться
в смузі частот
.
То, з
врахуванням смуги пропускання, отримаємо
відношення,
,
що буде значно більшим ніж у випадку
відсутності обмеження приймального
тракту по частоті!!!
Знання спектрів дозволяє побудувати багатоканальні системи зв'язку з частотним розділенням сигналу.
Отже спектр сигналу необхідно знати для:
1. розділення інформаційних потоків, при побудові багатоканальних систем зв'язку.
2. для зменшення взаємного впливу інформаційних потоків.
3. для послаблення завад.
Представлення сигналу у виді сукупності гармонік являється доцільним, оскільки апаратна система каналів зв’язку може бути настроєна для приймання тієї чи іншої гармоніки.
Однак цей факт не означає, що існують якісь додаткові переваги ряду Фур’є перед іншими рядами, використанням інших базових функцій.