5.5 Равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта
Предложена в 18 веке немецким математиком и астрономом Йоганном Ламбертом.
Если пересечь плоскость цилиндра, касательного к шару по экватору, плоскостями меридианов и параллелей так, как это показано на Рис.5.6, а затем развернуть цилиндр на плоскость, мы получим проекцию Ламберта.
Чтобы
доказать равенство площадей на шаре и
на плоскости рассмотрим шаровой пояс
и
его отображение на плоскости –
прямоугольник KMNL.
Рис.5.6
Поверхность шарового пояса равна
где:
-
радиус большого круга,
-
высота пояса.
Площадь прямоугольника
.
Но отрезок KL равен длине окружности экватора, т.е.
,
а
KM
равен высоте шарового пояса
.
Сделав подстановку найдём
,
(5.15)
что и доказывает равновеликость проекции.
Как это следует из чертежа, уравнение проекции будет
(5.16)
Для
определения искажений найдём увеличение
по меридиану и параллели
и
.
Обратимся к рис.5.7, где показаны бесконечно
малые отрезки на глобусе
.
Рис.5.7
и
на карте
.
Из треугольника
найдём
.
Следовательно, увеличение по меридиану будет равно
.
(5.17)
Увеличение по параллели, как и в других цилиндрических проекциях определяется ввыражением
.
(5.18)
Увеличение площадей равно
.
Наибольшее искажение направлений
или
,
(5.19)
так
как
.
Эта проекция искажает контуры территории больше чем другие цилиндрические проекции, сохраняя при этом неискаженными их площади. Поэтому карты в проекции Ламберта можно использовать для определения площадей различных территориальных объектов и акваторий при помощи планиметра, палетки или каких-либо другим способом. Чтобы уменшить искажение, применяют равновеликую цилиндрическую проекцию на секущем цилиндре.
Уравнение такой проекции будет
(5.20)
Для вычисления увеличений служат формулы
(5.21)
для
наибольшего искажения направлений
формула (5.19). Для территории Украины,
если принять
,
значения
приведены в таблице 5.3.
|
|
|
|
|
|
44° |
1,075 |
0,930 |
8°17' |
|
45° |
1,057 |
0,946 |
6°21' |
|
46° |
1,038 |
0,963 |
4°17' |
|
47° |
1,019 |
0,981 |
2°10' |
|
48° |
1,000 |
1,000 |
0° |
|
49° |
0,980 |
1,020 |
2º17' |
|
50° |
0,961 |
1,041 |
4º35' |
|
51° |
0,941 |
1,063 |
6º58' |
|
52° |
0,920 |
1,087 |
9º32' |
Таблица 5.3
Как видим для этой проекции при относительно небольших искажениях по меридиану и параллели (порядка 7-8% на крайнем юге и севере) характерны большие искажения направлений и углов.