- •Картография
- •Часть I Вводная часть.
- •Часть II Математическая картография
- •6.070900 ”Геоинформационные системи и технологии”)
- •Часть I вводная часть введение
- •1 Основные сведения о карте
- •1.1 Элементы карты
- •1.2 Свойства карты
- •1.3 Функции карты
- •1.4 Классификации карт
- •1. Классификации карт по масштабу:
- •2. Классификация карт по тематике:
- •3. Классификация карт по назначению:
- •4. Классификация карт по практической специализации:
- •2 Необходимые сведения по геометрии земного эллипсоида
- •2.1 Параметры земного эллипсоида
- •2.2 Система геодезических координат
- •2.3 Главные радиусы кривизны в данной точке эллипсоида
- •2.4 Длина дуги меридиана
- •Часть II математическая картография
- •3 Основы теории картографического проектирования
- •3.1 Картографические проекции
- •3.2 Масштаб карты
- •3.3 Эллипс искажений
- •3.4 Искажение направлений и углов
- •3.5 Искажение расстояний
- •3.6 Искажение площадей
- •3.7 Определение размеров эллипса искажений
- •3.8 Искажение азимутов
- •4 Классификация проекций
- •4.1 Классификация проекций по характеру искажений
- •1. Равноугольные или конформные проекции.
- •Равновеликие (равноплощадные, эквивалентные) проекции.
- •Равнопромежуточные (эквидистантные) проекции.
- •Произвольные проекции.
- •4.2 Классификация проекций по виду меридианов и параллелей нормальной сетки
- •1. Круговые проекции
- •2. Конические проекции
- •3. Азимутальные проекции
- •4. Перспективные проекции
- •5. Цилиндрические проекции
- •6. Поликонические проекции
- •5.2 Простая равнопромежуточная цилиндрическая проекция
- •5.3 Прямоугольная равнопромежуточная цилиндрическая проекция
- •5.4 Равноугольная цилиндрическая проекция Меркатора
- •5.5 Равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта
- •5.6 Цилиндрическая стереографическая проекция на секущем цилиндре (проекция Голла)
- •5.7 Равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера
- •5.8 Равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция на секущем цилиндре (проекция utm)
- •6 Конические проекции
- •6.1 Общая теория конических проекций
- •6.2 Равнопромежуточные конические проекции
- •6.3 Равноугольные конические проекции на эллипсоиде
- •6.4 Равновеликие конические проекции
- •6.5 Построение картографических сеток конических проекций по прямоугольным координатам
- •7 Локальная проекция декартовой системы координат
- •8 Азимутальные проекции
- •8.1 Общая теория азимутальных проекций
- •8.2 Равнопромежуточная азимутальная проекция
- •8.3 Равноугольная азимутальная (стереографическая) проекция
- •8.4 Равновеликая азимутальная проекция
- •Учебное издание
- •61002, Харков, ул.Революции, 12
6.4 Равновеликие конические проекции
Рассмотрим сначала эти проекции на шаре.
В конических проекциях меридианы и параллели пересекаются под прямым углом 90° . Вот почему на основании (4.2) можем записать
.
Подставляя вместо и их значения из (6.2) и (6.5) и приняв ,имеем
откуда находим
.
Интегрируя левую и правую части этого выражения, найдём
где - постоянная интегрирования, имеющая ту же размерность, что и , т.е. м2 или км2.
Введём новую постоянную
, (6.35)
с учетом (6.35) получим окончательно для радиуса
. (6.36)
Таким образом, мы получим функцию, определяющую радиус параллели в явном виде.
Для практического использования проекции помимо необходимо знать также) и .
Задавая по тем или иным критериям эти величины, мы будем иметь различные конические равновеликие проекции.
Определим широту параллели, где увеличение будет наименьшим. Для этого подставим в выражение (6.5) значение из (6.36)
. (6.37)
Возведем левую и правую части (6.37) в квадрат
. (6.38)
Исследуем функцию (6.38) на минимум, полагая, что минимуму соответствует минимум
или
.
Заменим в числителе . Тогда
. (6.39)
Для определения широты , на которой , приравняем производную к нулю. Знаменатель в (6.39) не может быть больше единицы. Вот почему для того, чтобы дробь (6.39) была равна нулю, необходимо, чтобы числитель равнялся нулю. В результате получим квадратное уравнение
(6.40)
решением которого будет выражение
.
Постоянная , так как в противном случае стал бы мнимой величиной. С другой стороны перед корнем необходимо оставить только знак минус, так как не может быть больше единицы. В результате получаем единственное решение, из которого при заданном можем определить
. (6.41)
И наоборот, по заданной широте из (6.40) можно найти d
. (6.42)
Найденное из (6.41) единственное значение соответствует минимуму , а следовательно и n.
Коэффициент пропорциональности с найдём из выражения (6.38), полагая, что на параллели касания с широтой .
. (6.43)
Как пример, рассчитаем параметры равновеликой конической проекции для карты Украины в масштабе 1:1000000, приняв широту параллели касания и радиус шара .
Из (6.42) найдём
,
а из (6.43)
Все остальные данные приведены в таблице 6.5.
Сравнивая эту таблицу с таблицей 6.1, можно заключить, что при примерно одинаковом растяжении по параллели равновеликость достигается за счет сжатия по меридиану и за счет увеличения угловых искажений на крайних параллелях.
Чтобы уменьшить искажения, касательный конус можно заменить секущим.
Таблица 6.5
44° |
618,103 |
0,9977 |
1,0023 |
0°15' |
45° |
607,003 |
0,9987 |
1,0013 |
0°09' |
46° |
595,893 |
0,9994 |
1,0006 |
0°04' |
47° |
584,778 |
0,9998 |
1,0002 |
0° |
48° |
573,658 |
1,0000 |
1,0000 |
0° |
49° |
562,539 |
0,9998 |
1,0002 |
0° |
50° |
551,424 |
0,9994 |
1,0006 |
0°04' |
51° |
540,315 |
0,9985 |
1,0015 |
0º10' |
52° |
529,218 |
0,9974 |
1,0027 |
0º18' |
Как известно, в секущёй проекции на параллелях сечения с широтой имеем . Вот почему, на основании (6.4) можем записать
Возведя это выражение в квадрат и подставив значение из (6.36), найдём
откуда
,
но , следовательно
. (6.44)
Введём обозначения
(6.45)
Выполнив в (6.44) преобразования тригонометрических функций с учетом обозначений (6.45), получим окончательно
. (6.46)
Для определения воспользуемся равенством (6.4) и возведём его в квадрат
откуда
.
Но согласно (6.36)
.
Следовательно
.
Подставив в это выражение вместоего значение из (6.46), а вместо - равное ему значение выполним преобразования тригонометрических функций с учетом обозначений (6.45). В результате будем иметь
.
Но, так как для параллели сечения n=1, получим окончательно
. (6.47)
Если задать параллели сечения , то выражения (6.45), (6.46), (6.47), (6.36) и (6.37) полностью определяют параметры равновеликой конической проекции на секущем конусе.
Рассмотрим расчет этой проекции для карты Украины в масштабе 1:1000000.
Широту параллелей сечения определим из выражения (6.20), приняв Т=7. Широта крайних параллелей . Полученные значения округлим до целого градуса.
В результате имеем .
Из выражений (6.45) находим , из (6.46) , а из (6.47) .
Все остальные данные приведены в таблице 6.6.
Таблица 6.6
44° |
618,162 |
0,9990 |
1,0010 |
0°07' |
45° |
607,048 |
1,0000 |
1,0000 |
0° |
46° |
595,924 |
1,0007 |
0,9993 |
0°05' |
47° |
584,793 |
1,0012 |
0,9988 |
0°08' |
48° |
573,659 |
1,0014 |
0,9986 |
0°10' |
49° |
562,525 |
1,0012 |
0,9988 |
0°08' |
50° |
551,393 |
1,0008 |
0,9992 |
0°05' |
51° |
540,269 |
1,0000 |
1,0000 |
0° |
52° |
529,155 |
0,9988 |
1,0012 |
0°08' |
Сравнивая эти данные с таблицей 6.5, можно заключить что искажение расстояний на крайних параллелях уменьшилось почти в 2 раза за счёт увеличения искажений расстояний на средних параллелях. Но в целом не превышает 1,4 м на км.
Искажение углов стало более равномерным и не превышает 10’. При решении многих картометрических задач такие искажения углов можно считать пренебрегаемо малыми.
Чтобы построить равновеликую коническую проекцию для эллипсоида, необходимо общие уравнения проекции (4.8) и (4.9) применить к земному эллипсоиду.
Есть и дугой более простой путь: сначала мысленно изобразить эллипсоид на шаре с сохранением площадей, а затем применить выведенные раннее формулы для шара.
При этом геодезические координаты B и L точек нужно заменить сферическими координатами изображения этих же точек на шаре , поставив условие, чтобы параллели эллипсоида соответствовали параллелям шара, а меридианы эллипсоида изображались меридианами шара, т.е.
. (6.48)
Масштабы m и n найдём, взяв отношения элементов меридиана и параллели шара к соответствующим элементам эллипсоида, которые представлены выражениями (6.2) и (6.4)
(6.49)
Так как направление меридиана и параллели – главные направления эллипса искажений, то условие равновеликости mn=1. Подставив в это условие значение m и n из (6.49), найдём
откуда
Интегрируя, получим
или
, (6.50)
где - часть поверхности эллипсоида, ограниченная экватором, параллелью с широтой и двумя меридианами с разностью долгот в один радиан.
Этот интеграл после подстановки M и N из (2.4), (2.5) может быть приведён к виду
. (6.51)
В формулу (6.50) входят три пока неизвестных параметра , которые можно определить, поставив следующие условия:
-
долготы не должны изменяться, тогда и ;
-
чтобы экватор эллипсоида изображался экватором шара, т.е. при должно быть и ;
-
чтобы полюс эллипсоида изображался полюсом шара, т.е. при было бы , т.е. согласно (6.50)
,
откуда найдём , подставив значение F из (6.51) при в (6.50)
. (6.52)
Для эллипсоида Красовского .
Подставим наёденные значения из (6.51) и из (6.52) в (6.50). В результате получим формулу для вычисления равновеликой широты
. (6.53)
Имея широту , для расчета проекции мы можем воспользоваться выведенными ранее формулами (6.42), (6.36), (6.37) и (6.43).
Таким образом решается задача построения равновеликой конической проекции на эллипсоиде.