5.6 Цилиндрическая стереографическая проекция на секущем цилиндре (проекция Голла)

Представим себе цилиндр, пересекающий глобус по параллели (рис.5.8). Спроектируем точки пересечения меридианов и параллелей на поверхности цилиндра лучами, исходящими из точки зрения Е₁, перемещающейся по экватору. Из каждого положения точки Е₁ проектируются на цилиндр точки, расположенные на противоположном меридиане, т.е. имеющие долготу отличную от точки Е₁ на 180˚ .

Рис.5.8

Для проектирования точки М₀ продолжим луч Е₁М₀ до пересечения с поверхностью цилиндра в точке М. Спроектировав таким образом точки пересечения меридианов и параллелей, развернём цилиндр на плоскость. В результате получим прямоугольную сетку.

Выведем формулы для этой проекции. Из рис.5.8 имеем

,

откуда

(5.22)

Так как сетка прямоугольная, . Увеличение по меридиану и параллели определяется из выражений

(5.23)

Соответственно

,

если и (5.24)

если .

Как это следует из (5.23) и (5.24), проекция Голла - произвольная проекция.

Тем не менее, как это видно из табл.5.4 если принять , для территории Украины искажения (особенно углов) в этой проекции меньше чем у других цилиндрических проекций.

До сих пор мы рассматривали разные виды нормальных цилиндрических проекций, у которых ось цилиндра совпадает с осью вращения Земли или ей параллельна.

Таблица 5.4

44°	0,971	0,930	0,903	2°28'
45°	0,978	0,946	0,925	1°54'
46°	0,985	0,963	0,948	1°17'
47°	0,992	0,981	0,973	0°38'
48°	1,000	1,000	1,000	0°
49°	1,008	1,019	1,027	0º37'
50°	1,016	1,041	1,058	1º23'
51°	1,024	1,063	1,089	2º08'
52°	1,033	1,087	1,123	2º54'

Рассмотрим теперь поперечно-цилиндрические проекции, у которых ось цилиндра лежит в плоскости экватора.

5.7 Равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера

Рассмотрим эту проекцию на шаре. Для этого введём систему сферических координат, как это показано на рис. 5.9.

Рис.5.9

За начало координат принимается точка А, лежащая в пересечении экватора с меридианом P₁AP, принимаемого за начальный в данной системе. Будем называть его осевым меридианом.

В новой системе координат за условный экватор принимается осевой меридиан, а за условные полюса точки Q и Q₁ лежащие на экваторе и отстоящий от начала координат A на 90° по долготе. Положение точки M в этой системе координат определяется дугой осевого меридиана и дугой большого круга .

Зависимости между координатами ,и координатами , выражается формулами сферической тригонометрии.

(5.25)

где - долгота осевого меридиана.

Возьмём теперь цилиндр, касательный к шару по осевому меридиану (рис.5.10) и перенесём на него условные меридианы Q₁AA₁A₂Q, Q₁aa₁a₂Q,, Q₁bb₁b₂Q… и условные параллели - дуги малых кругов, параллельных плоскости меридиана – A₁a₁b₁c₁, A₂a₂b₂c₂ так как мы это делаем в нормальной равноугольной проекции Меркатора (см.5.4).

Рис.5.10

За ось x примем осевой меридиан . За ось у - экватор Q,AQ (рис.5.10). Уравнения прямоугольных координат в этой проекции получим, если в выражениях (5.11) и (5.12) заменим на , а координаты и на и соответственно. В результате имеем

(5.26)

Так как проекция равноугольная, увеличение по осям и будет

(5.27)

а эллипсы искажений - окружности радиусом .

Из (5.27) следует, что искажение расстояний и площадей возрастает по мере удаления точки от осевого меридиана.

Чтобы эти искажения как-то ограничить, применение данной проекции ограниченно шестиградусными зонами. В каждой зоне имеется своя система прямоугольных координат , . При этом долгота осевого меридиана в каждой зоне определяет формула

где n =1,2, 3,...60 - номер зоны.

В пределах зоны величина достаточно мала. Поэтому вместо сферической ординаты удобней использовать её линейное значение. Для этого разложим в (5.27) в ряд, ограничиваясь двумя членами

.

Заменив его линейным значением , получим известную формулу

. (5.28)

В Украине искажения длин линий на краю шестиградусной зоны достигает

в южной части или 72 см на 1 км;

в северной части или 52 см на 1 км.

Искажение площадей соответственно

или 14 м² на 1 га;

или 10 м² на 1 га.

При составлении топографических планов в масштабе 1:5000 и крупнее такими искажениями пренебрегать нельзя. В этом случае применяют более узкие трёхградусные зоны, где долгота осевого меридиана вычисляется по формуле

.

Как это видно на рис.5.10 линии сферических координат в проекции Гаусса-Крюгера — прямые линии.

При обратном переходе от сферических координат к географическим осевой меридиан и экватор изобразятся перпендикулярными прямыми (рис.5.11). Остальные меридианы - кривые линии, обращенные вогнутостью к осевому меридиану, а параллели - кривые, обращённые вогнутостью к ближайшему полюсу.

Рис.5.11

До сих пор мы рассматривали эту проекцию на шаре. При переходе к эллипсоиду вращения общий характер проекции существенно не меняется.

Прямоугольные координаты на эллипсоиде вычисляют по формулам (2.15), а искажение длин линий по формуле (2.18).