- •Картография
- •Часть I Вводная часть.
- •Часть II Математическая картография
- •6.070900 ”Геоинформационные системи и технологии”)
- •Часть I вводная часть введение
- •1 Основные сведения о карте
- •1.1 Элементы карты
- •1.2 Свойства карты
- •1.3 Функции карты
- •1.4 Классификации карт
- •1. Классификации карт по масштабу:
- •2. Классификация карт по тематике:
- •3. Классификация карт по назначению:
- •4. Классификация карт по практической специализации:
- •2 Необходимые сведения по геометрии земного эллипсоида
- •2.1 Параметры земного эллипсоида
- •2.2 Система геодезических координат
- •2.3 Главные радиусы кривизны в данной точке эллипсоида
- •2.4 Длина дуги меридиана
- •Часть II математическая картография
- •3 Основы теории картографического проектирования
- •3.1 Картографические проекции
- •3.2 Масштаб карты
- •3.3 Эллипс искажений
- •3.4 Искажение направлений и углов
- •3.5 Искажение расстояний
- •3.6 Искажение площадей
- •3.7 Определение размеров эллипса искажений
- •3.8 Искажение азимутов
- •4 Классификация проекций
- •4.1 Классификация проекций по характеру искажений
- •1. Равноугольные или конформные проекции.
- •Равновеликие (равноплощадные, эквивалентные) проекции.
- •Равнопромежуточные (эквидистантные) проекции.
- •Произвольные проекции.
- •4.2 Классификация проекций по виду меридианов и параллелей нормальной сетки
- •1. Круговые проекции
- •2. Конические проекции
- •3. Азимутальные проекции
- •4. Перспективные проекции
- •5. Цилиндрические проекции
- •6. Поликонические проекции
- •5.2 Простая равнопромежуточная цилиндрическая проекция
- •5.3 Прямоугольная равнопромежуточная цилиндрическая проекция
- •5.4 Равноугольная цилиндрическая проекция Меркатора
- •5.5 Равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта
- •5.6 Цилиндрическая стереографическая проекция на секущем цилиндре (проекция Голла)
- •5.7 Равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера
- •5.8 Равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция на секущем цилиндре (проекция utm)
- •6 Конические проекции
- •6.1 Общая теория конических проекций
- •6.2 Равнопромежуточные конические проекции
- •6.3 Равноугольные конические проекции на эллипсоиде
- •6.4 Равновеликие конические проекции
- •6.5 Построение картографических сеток конических проекций по прямоугольным координатам
- •7 Локальная проекция декартовой системы координат
- •8 Азимутальные проекции
- •8.1 Общая теория азимутальных проекций
- •8.2 Равнопромежуточная азимутальная проекция
- •8.3 Равноугольная азимутальная (стереографическая) проекция
- •8.4 Равновеликая азимутальная проекция
- •Учебное издание
- •61002, Харков, ул.Революции, 12
6.3 Равноугольные конические проекции на эллипсоиде
Из примеров таблиц 6.1 и 6.2 мы видим, что в конических проекциях по мере удаления от параллели касания или сечения к югу и к северу масштаб по параллели непрерывно увеличивается.
Чтобы сделать масштаб одинаковым вокруг каждой точки, т.е. обеспечить на карте и глобусе подобие бесконечно малых фигур, а, следовательно, и равенства углов, следует видоизменить равнопромежуточную проекцию так, чтобы по мере увеличения масштаба вдоль параллелей соответственно увеличивался масштаб по меридианам.
Впервые теорию равноугольных конических проекций разработал в 1772г. Л. Ламберт.
Равноугольная коническая проекция Ламберта по отношению к равнопромежуточной конической проекции представляет то же самое, что равноугольная цилиндрическая проекция Г. Меркатора (см. 5.4) по сравнению с простой цилиндрической проекцией Генриха Мореплавателя (см. 5.2)
Для достижения равноугольности проекции необходимо и достаточно обеспечить равенство увеличений вдоль параллели и меридиана, т.е. .
На основании (6.2) и (6.5) для эллипсоида можем записать
(6.26)
Знак минус для взят потому, что с увеличением широты радиус на карте убывает.
Из выражения (6.26) найдём радиус как явную функцию широты как это следует из общего уравнения (4.8). Для этого представим (6.26) в виде
.
Подставим вместо и их значения из (2.4) и (2.5). В результате получим
.
Интегрируя левую и правую части, получим
(6.27)
где - постоянная интегрирования.
Для упрощения подынтегрального выражения умножим в числителе на величину . Тогда выражение (6.27) примет вид
. (6.28)
Введем обозначения
тогда
,
.
С учетом этих обозначений можем записать
.
Известно [ ]
.
Следовательно, имея также в виду, что логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя, можем записать
(6.29)
Введем обозначения
. (6.30)
Подставляя (6.30) в (6.29), получим
и следовательно
. (6.31)
Раскроем геометрический смысл постоянной интегрирования К. Для этого примем . Соответственно также будет равна нулю. Подставляя эти значения в (6.29), найдём
,
откуда на основании (6.31) можем найти радиус экватора
.
На полюсе и . Следовательно, полюс в этой проекции изобразится точкой в отличие от равнопромежуточной проекции, где полюс изображается полярной линией.
На основании (6.6) радиус параллели наименьшего масштаба равен
а коэффициент пропорциональности, исходя из (6.15) равен
.
Рассмотрим расчет равноугольной конической проекции для карты Украины в масштабе 1:1000000, приняв широту параллели касания .
Предварительно определяем и
.
На основании (6.6) и (б.30) можем записать
,
откуда имея в виду, что на параллели касания , имеем
.
Определим
,
,
.
Все остальные данные приведены в таблице 6.3.
Таблица 6.3
Широта |
|
|
|
44° |
619.86 |
1.0024 |
1,0048 |
45° |
608.73 |
1.0013 |
1,0026 |
46° |
597.60 |
1,0006 |
1,0012 |
47° |
586.48 |
1,0001 |
1,0003 |
48° |
575.36 |
1,0000 |
1,0000 |
49° |
564.24 |
1,0001 |
1,0003 |
50° |
553.12 |
1,0006 |
1,0012 |
51° |
541.98 |
1,0014 |
1,0028 |
52° |
530.83 |
1,0025 |
1,0050 |
Как и в случае равнопромежуточных проекций, задавая применительно к расположению конкретной картографируемой территории широту параллели касания , можем получить множество равноугольных проекций.
Из таблицы 6.3 следует, что за равноугольность проекции придётся расплачиваться искажениями расстояний по меридиану и большими искажениями площадей до 50 м2/га.
Рассмотрим теперь равноугольную проекцию на секущем конусе.
Для параллелей сечения . На основании (6.26), принимая во внимание (6.31) и (6.23), можем записать
. (6.32)
Сократив это выражение на будем иметь
Прологарифмируем это равенство. В результате получим
. (6.33)
Подстановкой в (6.32) найдем с контролем
. (6.34)
Величины определятся из выражения (6.30)
Широту параллелей сечения можно вычислить по формуле (6.20) с последующим округлением до целого градуса.
Используя полученные формулы рассчитаем проекцию для карты Украины в масштабе 1:1000000.
По формуле (6.20) находим .
Из (6.33) получим , а из (6.30) .
По формуле (6.34) находим .
Все остальные данные приведены в таблице 6.4.
Таблица 6.4
44° |
618,737 |
1,0010 |
1,0020 |
45° |
607,620 |
1,0000 |
1,0000 |
46° |
596,510 |
0,9992 |
0,9984 |
47° |
585,405 |
0,9988 |
0,9976 |
48° |
574,301 |
0,9986 |
0,9972 |
49° |
563,196 |
0,9988 |
0,9976 |
50° |
552,086 |
0,9992 |
0,9984 |
51° |
540,967 |
1,0000 |
1,0000 |
52° |
529,835 |
1,0011 |
1,0022 |
Сравнивая параметры, приведённые в таблицах 6.3 и 6.4, приходим к выводу, что замена касательного конуса секущим уменьшает искажения длин и площадей в 1,7 раз.
Если заменить эллипсоид шаром, формулы для расчёта проекции упрощаются. Так как то и выражение (6.30) принимает вид
Соответственно
.
Все остальные формулы можно применить, заменив и на .