- •Г лава I. Линейная алгебра
- •Матрицы и действия над ними
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.2. Определитель матриц
- •Основные свойства определителей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Обратная матрица
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.4. Ранг матрицы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.5. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Глава II. Векторная алгебра
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве. Скалярное произведение векторов
Задачи для самостоятельного решения
-
Определить размерность следующих матриц:
.
-
Найти если .
-
Найти и установить, существует ли , если
.
-
Найти если .
-
Показать, что если .
-
Решить матричное уравнение
где .
-
Показать, что ,
где – единичная матрица.
-
Дано, .
Найти и показать, что
.
1.2. Определитель матриц
Понятие определителя вводится только для квадратных матриц . Определитель обозначается или .
Определитель первого порядка матрицы равен ее элементу, т. е. .
Определителем второго порядка матрицы называется число, равное произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали, т. е.
. (1.1)
Определителем третьего порядка матрицы называется число, вычисляемое по формуле
. (1.2)
Чтобы составить выражение (1.2), используют символическое правило треугольников (правило Саррюса):
Минором элемента квадратной матрицы А п-го порядка называется число, равное определителю (п-1)-го порядка матрицы, полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, .
Алгебраическим дополнением элемента матрицы А называется число, равное
.
Определителем п-го порядка матрицы называется число, равное сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
, (1.3)
или
. (1.4)
Формулы (1, 3), (1, 4) называются формулами Лапласа разложения определителя по элементам i-й строки, j-го столбца соответственно.
Определитель матрицы не зависит от выбора строки (столбца), по которой идет разложение.
Основные свойства определителей
-
Определитель матрицы не изменяется при ее транспонировании, т. е.
-
При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.
-
Общий множитель всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы можно вынести за знак ее определителя.
-
Определитель матрицы с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.
-
Определитель матрицы не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
-
Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.
-
Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей, т. е. .
Примеры
7. Вычислить определитель второго порядка
.
Р е ш е н и е. Вычислим определитель по формуле (1.1). Имеем
8. Вычислить определитель второго порядка
.
Р е ш е н и е. Используем свойство 3 определителей и формулу (1.1). Имеем
.
9. Вычислить определитель третьего порядка
-
по правилу треугольников;
-
по формуле Лапласа.
Р е ш е н и е. 1. По формуле (1.2) непосредственно находим
2. Разложим определитель по элементам первой строки. Тогда из формулы (1.3) следует
.
10. Показать, что определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали:
.
Р е ш е н и е. Применим последовательно формулу (1.4) разложения определителя по элементам первого столбца.
Имеем
.
В частности, определитель единичной матрицы равен единице, .