- •Г лава I. Линейная алгебра
- •Матрицы и действия над ними
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.2. Определитель матриц
- •Основные свойства определителей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Обратная матрица
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.4. Ранг матрицы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.5. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Глава II. Векторная алгебра
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве. Скалярное произведение векторов
Задачи для самостоятельного решения
16. Из Минска в Могилев необходимо перевезти оборудование трех типов: I типа – 95 ед., II типа – 100 ед., III типа –185 ед. Для перевозки оборудования завод может заказать три вида транспорта. Количество оборудования каждого типа, вмещаемого на определенный вид транспорта, приведено в таблице:
Тип оборудования |
Вид транспорта |
||
Т1 |
Т2 |
Т3 |
|
I II III |
3 4 3 |
2 1 5 |
1 2 4 |
Записать в математической форме условия полной перевозки оборудования из Минска в Могилев.
17. Предприятие выпускает продукцию трех видов: А, Б и В. Уровень выпуска лимитируется ограниченностью ресурсов. Все числовые данные приведены в таблице:
Ресурсы |
Запас ресурса |
Нормы затрат на единицу продукции |
||
А |
Б |
В |
||
Сырье, кг Материалы, кг Оборудование, кг |
24 75 10 |
5 7 4 10 5 20 5 2 1 |
Записать в математической форме условия, которым должен удовлетворять план выпуска продукции, предполагая полное использование ресурсов.
18. На станции А1 находится 20 т, а на станции А2 – 30 т некоторого однородного груза. Этот груз следует доставить в пункты В1, В2 и В3 в количествах 10 т, 30 т и 10 т соответственно. Стоимость перевозки 1 т груза из пункта А1 в пункты В1, В2 и В3 равна соответственно 4, 9 и 5 ден. ед., а из А2 – 4,8 и 1 ден. ед. Записать в математической форме условия полного удовлетворения потребностей в грузе при транспортных затратах в 300 ден. ед.
19. Методом Гаусса решить систему уравнений:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ;
е) ; ж) ;
з) .
20. Пользуясь формулами Крамара, решить следующие системы уравнений:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ;
е) ; ж) .
21. Установить, при каких значения данная система уравнений имеет единственное решение, и найти его:
а) ; б) .
Глава II. Векторная алгебра
2.1. Векторы на плоскости и в пространстве. Скалярное произведение векторов
Вектором называется направленный отрезок где точка А – начало вектора, точка В – конец вектора. Если начало и конец вектора в явном виде не указаны, то вектор будем обозначать и т. д.
Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым вектором и обозначается .
Длиной (модулем) вектора называется длина его направленного отрезка и обозначается , .
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным или ортом.
Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.
Два вектора и называются равными , если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.
Свободный вектор – это вектор, который можно переносить параллельно самому себе в любую точку пространства (плоскости).
Произведением вектора на число называется вектор , длина которого ; направление совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если .
Суммой двух векторов и называется вектор (рис. 1) и обозначается .
Разностью двух векторов и называется вектор и обозначается (рис. 2).
Векторы, лежащие в одной плоскости или на параллельных плоскостях, называются компланарными.
Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве (прямо-угольной) называется совокупность трех упорядоченных взаимно перпендикулярных осей координат ОХ, ОY, OZ с общим началом в точке О. Орты координатных осей ОХ, ОY, ОZ обозначают соответственно. Векторы образуют декартовый прямоугольный базис в пространстве.
Базисом на плоскости называется упорядоченная пара любых некомпланарных векторов этой плоскости.
Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка любых некомпланарных векторов.
Векторы , в пространстве образуют базис тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленной из их координат,
не равен нулю: .
Если – базис на плоскости, то любой вектор этой плоскости единственным образом представляется в виде линейной комбинации векторов т. е. .
Числа называют координатами вектора в базисе и записывают .
Если – базис в пространстве, то любой вектор единственным обра-зом представляется в виде линейной комбинации векторов , т. е. . Числа называют координатами вектора в базисе и записывают .
Координатами точки М в заданной системе координат называют координаты ее радиус-вектора . В этом случае пишут или
Любой вектор в пространстве единственным образом представляется в виде линейной комбинации векторов т. е. . Числа называют декартовыми прямоугольными координатами вектора и записывают .
Линейные операции над векторами в координатной форме: пусть , , тогда , .
Длина вектора вычисляется по формуле
. (2.1)
Если вектор задан координатами точек и , то
. (2.2)
Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
. (2.3)
Скалярное произведение в координатной форме:
. (2.4)
Из определения скалярного произведения следует, что
. (2.5)
По значению косинуса находится угол между ненулевыми векторами и .
Ненулевые векторы и перпендикулярны (ортогональны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:
. (2.6)
Ненулевые векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны:
. (2.7)
Проекция вектора на вектор вычисляется по формуле . (2.8)
Примеры
-
Даны координаты точек , .
Вычислить длину вектора
.
Р е ш е н и е. Найдем координаты векторов по формуле (2.2):
.
Найдем координаты вектора
=.
Тогда длина вектора находится по формуле (2.1):
31,6.
-
Упростить выражение .
Р е ш е н и е. Воспользуемся свойствами скалярного произведения:
.
-
Определить, перпендикулярны ли векторы и , если , .
Р е ш е н и е. Векторы и имеют координаты:
Вычислим по формуле (2.4) скалярное произведение
.
Следовательно, векторы и не перпендикулярны, так как не выполняется условие перпендикулярности (2.6).
-
Найти координаты вектора , коллинеарного вектору при условии .
Р е ш е н и е. Из условия коллинеарности векторов (2.7) следует, что существует число , такое что . Тогда .
Из условия задачи следует .
Тогда .
Следовательно, или
.
-
При каком значении параметра векторы и :
-
коллинеарны;
-
перпендикулярны?
Р е ш е н и е. 1) Из условия коллинеарности векторов (2.7) следует
.
Из пропорции найдем значение .