- •Г лава I. Линейная алгебра
- •Матрицы и действия над ними
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.2. Определитель матриц
- •Основные свойства определителей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Обратная матрица
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.4. Ранг матрицы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.5. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Глава II. Векторная алгебра
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве. Скалярное произведение векторов
Задачи для самостоятельного решения
-
Определить ранг следующих матриц:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) ;
и) .
1.5. Системы линейных алгебраических уравнений
Системой т линейных уравнений с п неизвестными х1, х2, …, хп называется система вида
(1.6)
Здесь – вещественные числа, называемые коэффициентами системы, – вещественные числа, называемые свободными членами,
Решением системы (1.6) называется такая упорядоченная совокупность чисел (), которая будучи подставленной в каждое уравнение системы вместо неизвестных превращает их в тождества.
Система (1.6) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае называется несовместной.
Матрица – основная матрица системы;
матрица – расширенная матрица системы.
– матричная форма системы (1,6).
Здесь – матрица-столбец неизвестных,
– матрица-столбец свободных членов.
Система уравнений (1.6) совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, т. е. (теорема Кронекера – Капелли).
Если и , то система (1.6) имеет единственное решение, которое находится
либо матричным способом , (1.7)
либо по формулам Крамера (1,8)
где – определитель матрицы, полученной из основной матрицы заменой i-го столбца столбцом свободных членов.
В общем случае при решении совместной системы (1.6) выделяют базисный минор и базисные неизвестные (неизвестные, коэффициенты при которых образуют базисный минор основной матрицы). Исходную систему заменяют равносильной, состоящей из тех уравнений и k базиcных неизвестных, в которые вошли элементы базисного минора. Полученную систему решают либо матричным способом, либо по формулам Крамера, либо методом Гаусса, выражая базисные неизвестные через остальные свободные неизвестные.
Примеры
-
Три судна доставили в порт 6000 т чугуна, 4000 т железной руды и 3000 т апатитов. Разгрузку можно производить как непосредственно в железнодорожные вагоны для последующей доставки потребителям, так и на портовые склады. В вагоны можно разгрузить 8000 т, а остаток груза придется направить на склады. Необходимо учесть, что поданные в порт вагоны не приспособлены для перевозки апатитов. Стоимость выгрузки 1 т в вагоны составляет соответственно 4,30; 5,25 и 2,20 ден. ед., при отправке на склад – 7,80; 6,40 и 3,25 ден. ед. Записать в математической форме условия полной разгрузки судов, если затраты на нее должны составить 58 850 ден. ед.
Р е ш е н и е. По условию задачи доставленные в порт чугун, железную руду и апатиты можно разгрузить двумя способами: либо в железнодорожные вагоны, либо в портовые склады. Обозначим через количество груза (в тоннах) i-го вида , которое предполагается разгрузить -м способом . Таким образом, задача содержит шесть неизвестных.
Условие полной разгрузки чугуна можно записать в виде:
где – части чугуна, разгружаемого соответственно в вагоны и склады.
Аналогичное условие должно выполняться и для железной руды:
Что же касается апатитов, то их можно разгружать только на склады, а поэтому неизвестная и условие полной разгрузки апатитов принимает вид
Условие полной загрузки всех поданных в порт вагонов запишется так:
Затраты на разгрузку по условию определены в 58 850 ден. ед., что можно выразить записью:
Итак, с учетом сложившейся в порту ситуации условия полной разгрузки прибывших судов выражаются системой линейных уравнений:
17. Исследовать систему линейных уравнений; если она совместна, то найти ее решение:
Р е ш е н и е. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:
.
Система совместна, т. к. ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы . Количество неизвестных также равно Значит, система определена, т. е. имеет единственное решение. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:
Из второго уравнения Подставляя это значение в первое уравнение, получим
Итак, решение системы .
18. Методом Гаусса решить систему уравнений:
Р е ш е н и е. Произведем элементарные преобразования системы:
.
Так как , то система совместна и неопределенна (т. е. имеет бесконечное множество решений).
Число базисных неизвестных равно 2, число свободных неизвестных равно 4–2=2. Выберем какой-нибудь не равный нулю минор второго порядка полученной матрицы, например, минор . Его столбцы (первый и второй) соответствуют неизвестным и – это будут базисные неизвестные, а и – свободные неизвестные. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:
Теперь запишем эту систему в другом виде (слева остаются только базисные неизвестные):
Из второго уравнения выразим через и : . Подставляя выражение для в первое уравнение, получаем . Обозначим свободные неизвестные:
Запишем общее решение системы:
19. Решить систему уравнений, используя формулы Крамара
Р е ш е н и е. Вычислим определитель основной матрицы системы:
Система имеет единственное решение. Вычисляем
Отсюда
Таким образом, система имеет единственное решение .