4

dnc = P -n (N -n) A -n n A			,	(13.1)
dt	c	n c + +

где nc – концентрация свободных электронов в зоне проводимости, см-3;

n – количество электронов, захваченных в ловушках,см-3;

P – скорость образования электронов и дырок, см-3 с-1, пропорцио-

нальная мощности дозы D ;
A+	– коэффициент, определяющий скорость рекомбинации элек-
тронов из зоны проводимости, см3/с;
n+	– концентрация рекомбинационных ловушек (дырок), см-3;
N – полная концентрация электронных ловушек в детекторе, см-3;
An	– коэффициент, определяющий вероятность возврата электронов
из зоны проводимости на ловушки, см3/с;
			dn =n		(N -n) A ,			(13.2)
			dt	c		n
		dn+	= Bn (M -n			) -n n	A ,	(13.3)
		dt		v	+	c +	+

где М – полная концентрация центров рекомбинации, см-3; В – коэффициент, определяющий вероятность захвата дырок в центрах H в запрещенной зоне, см3/с;

nν – концентрация дырок в валентной зоне, см-3.

dnv	= P -Bn (M -n )		(13.4)
dt	v	+

В квазиравновесном состоянии dndtc »0, dndtν »0 (при постоян-

ной интенсивности облучения) и из уравнений (13.4) и (13.2) следуют равенства:

nv =

P

, nc =

P

(13.5)

B(M -n+)

A+ n+ + (N

-n) An

и равенство

dn+

dn

=

=

An (N - n)

.

(13.6)

dt

dt

A

(N - n) +A n

n

+ +

411

В рамках упрощенной модели ”одна ловушка – один центр ре-

комбинации” (nc и nν << n и n+) n = n+ и уравнение (13.6) преобразуется к виду:

dn	=		An (N - n)	P ;	(13.7)
dt		A	(N - n) +A n
		n	+

интегрирование (13.7) с учетом дозы облучения D за время t (D= =k·P·t, k – нормировочная константа) определяет следующую зависимость между величиной дозы и параметрами облучаемого фосфóра:

	ì	A	é	n	ùü
	ï	+			ï
	D =k ín-		êN ln(1-		) + núý.	(13.8)
		A		N
	ï		ê		úï
	îï	n	ë		ûþï

Так как отношение n/N <<1, после разложения в ряд ln(1-n/N) с точностью до двух членов соотношение (13.8) преобразуется к следующему уравнению (без учета нормировочной константы k):

		A n2
	D =n +	+	.	(13.9)
		2A N
		n

Концентрация заполненных электронных ловушек n после облучения связана с соответствующей дозой D соотношением:

n =	An N	( 1 +	2A+	D -1) .			(13.10)
	A		A
+			n
При малых дозах D << AnN/(2A+)			n ~ D;				(13.11)
При больших дозах D >> AnN/(2A+) n					2 An N	D .	(13.12)
					A
					+

Эти соотношения являются критериями степени линейности зависимости n = f(D). На рис. 13.3 приведены соответствщие зависи-

мости при постоянных величинах различных мощностей доз D от времени облучения, то есть при одинаковых временах облучения в детекторах формируются существенно разные интегральные дозы

D.

Нелинейная зависимость числа заполненных электронных ловушек n от дозы D:

1
n D2	(13.13)
	412

может наблюдаться при определенных значениях параметров фос-
фóров (An, A+, M) и при достаточно больших дозах. Это происходит
потому, что с ростом дозы увеличивается скорость рекомбинации
A+n+nc ; она становится относительно больше скорости захвата
ловушками An Nn .
Другая причина нарушения линейности n D при больших до-
зах – эффект насыщения			концентрации	ловушек:	dn 0 при
n N .					dt
1 ,4 x 1 0	1 0			2
ед.
отн.		9
7 ,0 x 1 0
n,				1
0 ,0			5 0	1 0 0
		0
		время облучения, отн. ед.
Рис. 13.3. Зависимость концентрации электронов в ловушках от времени
Облучения: 1–- малая мощность дозы, 2 – большая мощность дозы

1.3. Кинетика процессов в радиотермолюминесцентном дозиметре

Интерпретация явления радиотермолюминесценции может быть проведена на основании зонной теории твердого тела.

Явления термолюминесценции (ТЛ) наблюдается в изоляторах и полупроводниках при внешнем термическом стимулировании (воздействии). При достаточно высоких температурах (~ 200÷300° С) твердые тела излучают в диапазоне инфракрасного спектра – это теплое излучение абсолютно черного тела.

ТЛ есть стимулированное световое излучение при нагреве вещества, в котором была поглощена энергия ионизирующего излучения, и эта энергия должна сохраняться определенное время в ТЛ

413

веществе. Поглощенная энергия реализуется в процессе нагревания тела в виде светового излучения, которое может быть зарегистрировано. Способность ТЛ веществ накапливать поглощенную энергию ионизирующего излучения делает возможным использовать это явление в дозиметрии (интегрирующие дозиметры).

Скорость рекомбинации носителей пропорциональна концентрации свободных электронов nc в зоне проводимости и концентрации ловушек захвата (дырок) n+; этот эффект определяет интенсивность люминесценции I(t):

I (t) =-	dn+	= n	n	A ,	(13.14)
	dt	c	+	+

где A+ – коэффициент, определяющий скорость рекомбинации; отрицательный знак указывает на уменьшение числа дырок.

Скорость изменения концентрации захваченных электронов n равна скорости термального освобождения электрона из ловушек и вторичного захвата электронов nc из зоны проводимости:

-dn =n P -n		(N -n) A	,	(13.15)
dt	c	n

где An – коэффициент, определяющий скорость возврата электронов из зоны проводимости на ловушки; N – полная концентрация электронных ловушек в детекторе.

Параметр P определяет величину, связанную с вероятностью термического освобождения электрона из ловушки:

ì	ε	ü		-1
ï		ï	, с		,	(13.16)
P = s expí-		ý
îï	kT þï

где ε – глубина ловушки или энергия активации (эВ), необходимая для перехода электрона из ловушки в зону проводимости; s – частотный фактор (с-1); k = 8,617·10-5 эВ/К – постоянная Больцмана;

Т– абсолютная температура, К.

Сучетом всех процессов скорость изменения концентрации электронов в зоне проводимости определяется скоростью термического освобождения захваченных в ловушках электронов n, переходящих в зону проводимости ( n P ), скоростью захвата электро-

нов nc из зоны проводимости свободными ловушками ( nc (N -n ) An ) и их скоростью рекомбинации ( ncn+A+ ):

414

dndtc =n P -nc (N -n ) An -nc n+A+ .

(13.17)

Из условия зарядовой нейтральности следует: nc + n = n+. Основные переходы носителей процесса термолюминесценции показаны на рис. 13.4.

Уравнения (13.14 – 13.17) представляют традиционную систему кинетических уравнений для описания интенсивности I(t) термолюминесценции в рамках OTOR. Общее решение системы отсутствует; решение получено при некоторых упрощающих условиях: число электронов в ловушках значительно больше числа электро-

нов в зоне проводимости n>> nc; тогда при n ≈ n+ и dndt+ » dndt ;

кроме того, dndtс »0 , т.е. предполагается незначительное изменение от времени концентрации электронов в зоне проводимости.

зона проводимости

	•	•
hν	ε	3 2
	4	Eg
		1

H

валентная зона

Рис. 13.4. Схема переходов в модели «одна ловушка – один центр рекомбинации» при термолюминесценции

Интенсивность люминесценции будет определяться следующим образом:

415

I (t) =-

dn+

=-

dn

,

dt

dt

(13.18)

с учетом I( t ) =-dn

из уравнений (13.14), (13.15) следует:

dt

n+ A+ s n exp(-ε/kT )

I (t) =

,

(13.19)

(N -n) A

+n

A

n

+

+

	если пренебречь обратным возвратом электронов на ловушки (An ≈
	≈ 0), то
	I( t ) =-dn	= s n(t) exp(-	ε	) .	(13.20)
			kT
	dt

Это уравнение представляет кинетику процесса термолюминесценции в приближении первого порядка.

После интегрирования (13.20) зависимость числа заполненных электронами ловушек от времени соответствует соотношению при некоторой зависимости от времени температуры нагревания Т(t):

		é	t		ε	ù
	n(t) = n	exp ê-s	ò	exp(-		)dt¢ú	,	(13.21)
	0	ê			kT (t¢)	ú
		ë	0			û

где n0 – число заполненных ловушек в момент времени t = 0 (окончание облучения).

После подстановки (13.21) в (13.20) следующее соотношение соответствует кривой термовысвечивания – зависимости интенсивности люминесценции от времени нагревания:

			ε	é	t		ε	ù
	I (t) = n	s exp(-		) exp ê-s	ò	exp(-		)dt¢ú	. (13.22)
	0		kT (t)	ê			kT (t¢)	ú
				ë	0			û

Если нагрев люминофора осуществляется с линейно увеличивающейся температурой, т. е. скорость T (t) = T0 +βt , где Т0 – тем-

пература люминофора до начала процесса нагрева и β – коэффициент, определяющий скорость нагрева, то следующее соотношение соответствует кривой термовысвечивания в зависимости от температуры люминофора:

	s		ε	é	s	T		ε	ù
				ê					ú
I( T ) = n0		exp(-		) exp ê-		ò	exp(-		)údT ¢ . (13.23)
	β		kT					kT ¢
				ê	βT				ú
				ë		0			û
				416

Кривая близка по форме к несколько асимметричной гауссовской функции.

На рис. 13.5 показаны кривые термовысвечивания при линейном законе нагревания (Т0=250 К, n0 = 3·10-6 см-3, s = 1012 c-1, β = 1 К/c)

при различных величинах глубин ε расположения электронных ловушек. С увеличением ε кривые сдвигаются в область высоких температур; физически это соответствует необходимости увеличения энергетических затрат для освобождения электронов из ловушек и их перехода в зону проводимости.

		ε	=	0 ,8	эВ
	0 , 1 0					ε = 1 ,0 эВ ε = 1 ,2 эВ
.
, отн.ед	0 , 0 5
I(T)
	0 , 0 0
	2 5 0	3 0 0			3 5 0	4 0 0	4 5 0	5 0 0
						T ,K
	Рис. 13.5. Кривые термовысвечивания для различных значений ε

Из соотношения (13.23) следует, что высота пика пропорциональна числу n0 заполненных ловушек после облучения детектора. Площадь S под кривой I(T) термовысвечивания:

¥	¥		n
S = ò	I( t )dt =-ò dn dt =- ò¥ dn =n0 -n¥ .			(13.24)
0	0	dt	n
			0

При условии полного освобождения ловушек площадь S при t →

→ ∞ (n∞ → 0)

S = n0 ,

(13.25)

площадь под кривой термовысвечивания пропорциональна поглощенной в люминофоре энергии ионизирующего излучения. Таким образом, две величины: высота пика кривой термовысвечивания и площадь, ограниченная этой кривой, могут являться мерой поглощенной дозы ионизирующего излучения.

417

С увеличением значения параметра s (частотный фактор, являющийся характерным параметром фосфóра для каждого энергетического уровня ε) наблюдается следующая зависимость (рис.13.6): чем больше величина s, тем значительнее сдвигается пик кривой в область низких температур, так как требуется меньшая энергия для освобождения электронов из ловушек.

		s=1014c-1
	0,14
.				s=1012c-1
ед				s=1010c-1
отн.
	0,07
T),
I(
	0,00
	200	250	300	350	400

T, K

Рис.13.6. Изменение параметров для каждого энергетическоко уровня:

Т0=250 К, n0 = 3·10-6 1/см3,ε = 0,8 эВ, β = 1 К/c

Из уравнения (13.23) следует, что высота пика кривой термовысвечивания пропорциональна не только концентрации n0, заполненных при облучении электронных ловушек, но и зависит от скорости нагрева, определяемой коэффициентом β. Соответствующие результаты расчетов показаны на рис.13.7; пик сдвигается в область высоких температур с увеличением коэффициента β.

В соотношения (13.22), (13.23), определяющие форму кривой термовысвечивания, входит экспоненциальный интеграл

t
ò exp{-ε/kT ¢}dt ¢ ,	(13.26)
0

который может быть рассчитан только численными методами. При следующей зависимости температуры нагревания люминофора от

418

времени (гиперболическая зависимость)

может быть получена бо-

лее простая аппроксимация кривой термовысвечивания:

1

=

1

- t ,

(13.27)

T (t)

T

β

0

где β – постоянная, определяющая скорость нагревания и Т0 – зна-

чение температуры при t = 0. Учитывая, что

æ

ö

dt ¢=ç β

2

÷÷dT ¢ и под-

ç

¢

÷

èT

ø

ставляя dt¢в интеграл (13.26) получим:

t

T

12 exp{-ε/kT ¢}dT ¢=

ò exp{-ε/kT ¢}dt¢=β ò

0

T

T ¢

(13.28)

kβ

0

=

êéexp(-ε/kT )-exp(-ε/kT0 )úù.

ε

ë

û

0,10

ед.

β = 1,0 k/c

.

β = 0,2 k/c

отн

0,05

T),

I(

β = 5,0 k/c

0,00

300

350

400

Т, 0К

Рис.13.7. Т0=200 К, n0 = 1·10-6 1/см3, ε = 1,0 эВ, s = 1012 c-1

Соотношение (13.23) с учетом exp(-ε/kT )>> exp(-ε/kT0 )преоб-

разуется к более простому выражению:

ù

s

ε

é

s

T

ε

I( T ) = n0

exp(-

ê

ò

exp(-

ú

β

kT

) exp ê-

kT ¢

)údT ¢ ≈

ê

βT

ú

ë

0

û

419

			ε	é	sβk		ε	ù
	» n	s exp(-		) exp ê-		exp(-		)ú .	(13.29)
	0		kT	ê	ε		kT	ú
				ë				û

Значение температуры Тmax при максимуме кривой термовысвечивания (пик кривой dTdI =0 ) связано с основными параметрами детектора следующим трансцендентным уравнением:

β	= s exp(-	ε	) .	(13.30)
kT 2
		kTmax
max

В явном виде значение Т max может быть оценено с помощью следующей приближенной аппроксимации:

T A		ε é		s k		ù	-1
	»		êln(		T 2 )ú		,
max		ê		β ε	*	ú
		k ë				û

(13.31)

где T* – параметр, имеющий значение температуры, и оптимальная величина T* ≈ 500 К. В табл. 13.1 приведены значения Тmax, соответ-

ствующие решению трансцендентного уравнения (13.30), и следующие из приближенной формулы (13.31) для некоторых значений s и ε.

Таблица 13.1

Зависимость значений температуры, соответствующей максимуму кривой термовысвечивания, от глубины ε центров захвата электронов

(β = 1 К/с)

ε, эВ	Tmax		TmaxA	Tmax		TmaxA
		s = 1010,c-1			s = 1012,c-1
0,8	361,6		352,7	309,8		300,2
1,0	448,4		444,7	384,5		378,0
1,2	534,6		537,4	458,9		456,3

1.4.Кинетика второго порядка

Вмодели кинетики второго порядка предполагается значительный вклад эффекта вторичного захвата электронов из зоны прово-

420