1. Постановка задачи

При выполнении вычислений над матрицами высоких порядков целесообразно разбить их на клетки(блоки) с помощью горизонтальных и вертикальных перегородок, идущих вдоль и поперёк всей матрицы. Таким образом, каждая матрица разбивается на подматрицы меньших порядков, вычислительные действия над которыми проводить значительно проще.

Данная программа используется как пособие для самостоятельного обучения, так и для общего обучения, например в классе. Так же данный продукт может использоваться, как прикладная программа, для выполнения вычислений над клеточными матрицами.

Элементы теории влючают в себя определение клеточной матрицы, методы разбиения квадоатных матриц на клетки, операции над клеточными матрицами.

Элементы практики включают в себя задачи, которые требуют выполнить операции над клеточными матрицами. Решение задач способствуют наилучшему усвоению материала.

Элементы контроля позволяют проверить, правильно ли решена задача.

Данная программа будет предусматривать два метода разбиения квадратных матриц на клетки и выполнеие с ними операций.

Первый метод. Данную матрицу S 4-го порядка можно разбить на 4 квадратных матрицы: A, B, C, D 2-го порядка

S11 S12 S13 S14

S=

=

S21 S22 S23 S24 A B

S31 S32 S33 S34 C D ,

S41 S42 S43 S44

где ; ;

; .

Над клеточными матрицами такого типа можно производить операции сложения и умножения, оперируя с клетками матрицы, как с элементами обычной матрицы.

Пусть ,

- клеточные матрицы одного и того же типа и разбиения, тогда

,

Пример 1. Матрицы

В=

А=

и

разбить на квадратные клетки и вычислить А+В и А*В.

Решение. 1) Разобъем матрица А и В на квадратные клетки следующим образом:

=

2) Находим

3) Имеем

Последовательно получаем

Второй метод.

Можно разбить матрицу n-го порядка на клетки так называемым окаймлением, т.е. на квадратную матрицу (n-1)-го порядка, окаймлённую матрицей – строкой (n-1)-го порядка, матрицей-столбцом (n-1)-го порядка и матрицей первого порядка – числом:

An-1				a1n
				a2n
				.
				.
				.
				an-1,n
an1	an2	…	an,n-1	ann

An-1	Un-1
Vn-1	ann

An=

=

=

где An-1 - квадратная матрица (n-1)-го порядка

Un-1 - матрица-столбец (n-1)-го порядка

Vn-1 - матрица-строка (n-1)-го порядка

ann - число

Действия над окаймляемыми матрицами производятся так же, как действия над клеточными матрицами

A=

В=

Пусть

- две окаймленные матрицы n-го порядка. Тогда

Где MP и UX – матрицы (n-1)-го порядка; MY и Ub – матрицы-столбцы (n-1)-го порядка; VP и aX – матрицы-строки (n-1)-го порядка; VY и ab - числа

Пример 2. Матрицы:

и

разбить на клетки окаймлением и вычислить A+B и A*B

Решение. 1) Разбиваем матрицы А и В с помощью окаймления:

2) Находим

3) Имеем

Последовательно получаем:

11 -22 29

9 -27 32

13 -17 26