- •Производная и дифференциал функции
- •Тема 1 Производная функции
- •1.1 Определение производной. Основные правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функции
- •1.2 Производные основных элементарных функций. Понятие о производных высших порядков. Эластичность функции
- •Тема 2 Приложения производной
- •2.1 Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя
- •2.2 Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Асимптоты графика функции
- •2.3 Общая схема исследования поведения функции и построения ее графика
Производная и дифференциал функции
Тема 1 Производная функции
1.1 Определение производной. Основные правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функции
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .
Производной функции в точке называется предел отношения , когда (если этот предел существует). Производная функции в точке обозначается . Например, выражение следует понимать как производную функции в точке .
Дифференциал аргумента dx – приращение аргумента ∆х, дифференциал функции определяется как dy = y/ dx
Определение производной можно записать в виде формулы
. (1)
Предел (1) может не существовать. В этом случае говорят, что функция не имеет производной в точке . Если предел (1) равен , то говорят, что функция имеет в точке бесконечную производную.
В различных задачах (в том числе и экономических) производная функции интерпретируется как скорость изменения величины y относительно x. Геометрический смысл производной состоит в том, что – это тангенс угла наклона касательной к графику в точке .
Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.
Укажем правила дифференцирования, которые сводят вычисление производных одних функций к вычислению производных других (более простых) функций.
Если функции дифференцируемы в точке , то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в точке , и справедливы следующие формулы
.
Если функция имеет обратную функцию и в точке производная , то обратная функция дифференцируема в точке и или .
Если функция дифференцируема в точке и , то сложная функция также дифференцируема в и верна следующая формула
или .
Производная неявной функции. Во многих задачах функция y(x) задана невным образом. Например, для приведенных ниже функций
невозможно получить зависимость y(x) в явном виде. Алгоритм вычисления производной y'(x) от неявной функции выглядит следующим образом:
-
Сначала необходимо продифференцировать обе части уравнения по отношению к x, предполагая, что y - это дифференцируемая функция x и используя правило вычисления производной от сложной функции;
-
Решить полученное уравнение относительно производной y'(x).
Пример 1
Продифференцировать функцию y(x), заданную уравнением .
Решение. Продифференцируем обе части уравнения по переменной x:
что приводит к результату:
1.2 Производные основных элементарных функций. Понятие о производных высших порядков. Эластичность функции
Используя определение непрерывности и определение производной функции в точке, замечательные пределы и правила дифференцирования можно показать, что производная каждой простейшей элементарной функции снова является элементарной функцией. Обычно производные основных элементарных функций сводятся в специальные таблицы:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7) .
Пусть – производная функции . Функция называется также первой производной. Производная функции называется второй производной функции и обозначается или . Вообще, п-ой производной функции называется производная ее (п-1)-ой производной: . Говорят также, что – это производная порядка п от функции . Теоретический анализ разнообразных явлений экономики использует ряд предельных величин: предельные издержки, предельный доход, предельная производительность, предельная полезность и т.д. Все эти величины тесным образом связаны с понятием производной. В качестве характерного примера рассмотрим характерные издержки.
Пусть х – количество произведенной продукции, – соответствующие данному выпуску издержки. Предельные издержки обозначим MY и определим как дополнительные издержки, связанные с производством еще одной единицы продукции, т.е.
, где .
Тогда
.
Предельные величины характеризуют не состояние, а процесс, изменение экономического объекта. Здесь производная означает скорость изменения некоторого экономического процесса во времени или относительно другого фактора. В этом заключается экономический смысл производной.
Для исследования прикладных экономических задач было введено понятие эластичности функции. По существу это понятие является чисто математическим и может применяться при анализе любых дифференцируемых функций. Эластичностью функции в точке х0 называется следующий предел
.
Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция при изменении независимой переменной х на 1%.