- •Производная и дифференциал функции
- •Тема 1 Производная функции
- •1.1 Определение производной. Основные правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функции
- •1.2 Производные основных элементарных функций. Понятие о производных высших порядков. Эластичность функции
- •Тема 2 Приложения производной
- •2.1 Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя
- •2.2 Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Асимптоты графика функции
- •2.3 Общая схема исследования поведения функции и построения ее графика
Тема 2 Приложения производной
2.1 Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя
Функция , определенная во всех точках промежутка , называется возрастающей (убывающей) в этом промежутке, если для любых двух значений аргумента, принадлежащих этому промежутку, большему из них соответствует большее (меньшее) значение функции, т.е.
если то при
– возрастающая, – убывающая.
Из данного определения вытекает, что для возрастающей функции приращения аргумента и функции имеет один и тот же знак, в силу чего их отношение положительно: . Для убывающей функции эти приращения имеют разные знаки, в силу чего . Те значения аргумента, при которых функция достигает своих наибольших и наименьших по сравнению с близкими значений, называются точками максимума и минимума (точками экстремума).
Точка называется точкой максимума (минимума) непрерывной функции , а значение называется максимумом (минимумом) этой функции, если существует некоторая окрестность точки такая, что значение функции в любой точке этой окрестности будет меньше (больше), чем ее значение в самой точке , т.е. меньше (больше), чем максимум (минимум) (рисунок 1).
у max у
min
f(х0) f(х0)
О х0– х0 х0+ х О х0– х0 х0+ х
точка максимума |
точка минимума |
Рисунок 1
Из определений точек экстремума следует, что вне -окрестности точки экстремума поведение функции произвольно, т.е. понятия максимума и минимума функции носят характер локальных (местных), а не абсолютных понятий.
Чтобы установить признаки возрастания и убывания и признаки экстремума функций рассмотрим ряд важных теорем математического анализа, на которые опираются все дальнейшие исследования функций.
Теорема Ферма. Если функция непрерывна в промежутке , в некоторой внутренней точке х0 этого промежутка достигает максимума (или минимума) и дифференцируема в этой точке, то ее производная в этой точке равна нулю: .
Предположим для определенности, что х0 – точка максимума. Тогда для любой точки из интервала выполняется неравенство . Поэтому , если и , если . Переходя к пределам, получим
и .
Оба неравенства будут выполняться, если .
Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что касательная к графику функции в точке параллельна оси Ох, если х0 – точка максимума или минимума функции на интервале (рисунок 2).
В точке максимума (минимума) х0 производная может не существовать (рисунок 3)
у max у min f(х0) f(х0) О a х0 b х О a х0 b х
Рисунок 2 |
у max
min О a х0 b х
Рисунок 3 |
Теорема Ролля. Пусть функция :
1) непрерывна на отрезке ;
2) дифференцируема на интервале ;
3) на концах отрезка принимает равные значения .
Тогда существует точка , в которой . Так как функция непрерывна на отрезке , то она принимает в некоторых точках и минимальное и максимальное значения: . Если , то и в любой точке интервала производная . Поэтому можем считать, что . Положим , если , и , если . При таком определении с имеем . Поскольку , то , поэтому . Итак, с – это точка максимума или минимума функции и . По теореме Ферма .
Геометрический смысл теоремы Ролля: на графике функции найдется по крайней мере одна точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ох.
В частном случае, когда , теореме Ролля можно дать новое толкование: между двумя нулями дифференцируемой функции всегда заключен по крайней мере один нуль ее производной.
Теорема Лагранжа. Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале . Тогда существует такая точка , что
. (2)
Формула (2) называется формулой конечных приращений.
Введем вспомогательную функцию
.
Тогда
1) ;
2) непрерывна в тех же точках, в которых непрерывна функция , т.е. непрерывна на и дифференцируема в . По теореме Ролля существует точка , в которой . Так как , то в точке с выполняется равенство (2).
Теорема Коши. Пусть функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале . Пусть, кроме того, на . Тогда существует точка , такая, что
.
Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши, когда .
Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя. Раскрытием неопределенностей в математическом анализе называется отыскание предела , когда функция непрерывна вблизи точки , но не определена в самой этой точке, а непосредственная подстановка в формулу этой функции значения приводит к выражению неопределенного вида:
Основными видами неопределенностей являются следующие два: .
Для этих двух видов неопределенностей справедлива теорема Лопиталя: предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных
.
Правило Лопиталя позволяет во многих случаях найти предел вида или, как говорят, раскрыть неопределенность.
Замечание 1. Другие виды неопределенностей можно свести к основным видам.
Замечание 2. Правило Лопиталя можно применять повторно.
Пример Найти . Это неопределенность вида . Представим данный предел в виде ; это уже будет неопределенность вида , к которой применимо правило Лопиталя.
Поэтому .